Главная / Математика / Линейная алгебра

Линейная алгебра - ответы на тесты Интуит

Правильные ответы выделены зелёным цветом.
Все ответы: Курс посвящен изучению основных понятий и аппарата линейной алгебры.
Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Матрица проектора P в некотором базисе имеет вид math"?
(1) если math, то math. math состоит из векторов math, т.е. math. Аналогично math.
(2) любой вектор math можно представить в виде math, где math и math. Кроме того, если math, то math. В самом деле, тогда math и math, поэтому math. Следовательно, math. Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид.
(3) Выберем в пространстве W ортонормированный базис math. Рассмотрим вектор math. Условие math означает, что 0=(\lambda _{1}e_{1}+...+\lambda _{k}e_{k}-\upsilon ,\ e_{i})=\lambda _{i}-(\upsilon ,e_{i}), т.е. math. Выбрав такие числа math, получим требуемый вектор math.
Как называется функция math?
(1) билинейной формой
(2) инвариантным подпространством
(3) билинейной матрицей
Как называется оператор math, если \overline{x}\cdot \overline{y}=f(\overline{x})\cdot f(\overline{y})\ \ \forall \overline{x},\overline{y}\in E_{n}?
(1) самосопряженным
(2) сопряженным линейному оператору math
(3) ортогональным
Какую матрицу имеет квадратичная форма math?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & \frac{1}{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -3% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 3% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -1 \\ 3 & 1 & 0% \end{array}% \right)
Какие из матриц являются единичными?
(1) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)
Выбрать однородные системы линейных уравнений
(1) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4-1=0\\ 5x_2-7x_3=2\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}
(2) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-7x_3=2\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}
(3) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-7x_3=0\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}
(4) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3+x_4-1=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=2\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4-6=0\\ \end{array}
(5) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4=0\\ \end{array}
(6) \left\{ \begin{array}{c} x_1^2+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4=0\\ \end{array}
Найти det A, если А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 1\\ 3 & 0 & 2\\ \end{array} \right)
(1) 4
(2) 5
(3) 6
(4) -4
(5) -5
(6) -6
Ранг матрицы $\left( \begin{array}{cccc} 25 & 31 & 17 & 43 \\ 75 & 94 & 53 & 132 \\ 75 & 94 & 54 & 134 \\ 25 & 32 & 20 & 48% \end{array}% \right) $ будет равен:
(1) 0
(2) 3
(3) 5
Какие операторы являются линейными?
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Выберите верное утверждение:
(1) если math, то элементы x и y модуля с билинейной формой math называют ортогональными
(2) если для любых элементов x и y math, то билинейная форма называется симметрической
(3) если для каждого элемента x math, то билинейная форма называется кососимметрической
Если матрицу A=$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2% \end{array}% \right) транспонировать, то получится матрица math равная:
(1) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3% \end{array}% \right)
Какое будет ортогональное преобразование неизвестных для квадратичной формы math, приводящую эту форму к каноническому виду?
(1) -7y_{1}^{2}+2y_{2}^{2},\ \ x_{1}=\frac{2}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}+\frac{3}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{1}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{2}{% \sqrt{6}}y_{2}-\frac{2}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{3}=\frac{4}{\sqrt{21}}y_{1}+% \frac{1}{\sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{14}}y_{3}
(2) -y_{1}^{2}-7y_{2}^{2}+5y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{3}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{2}{\sqrt{6}}y_{1}-% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{2},\ \ x_{3}=-\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}% y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3}
(3) y_{1}^{2}+7y_{2}^{2}+y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ x_{2}=-\frac{2}{\sqrt{6}}y_{2}+% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ \ x_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3}
Выберите правильные свойства для А, B и C - матриц, и чисел a и b
(1) А+В=В+А
(2) (А+В)+С=А+(В+С)
(3) a(A)=(a)A
(4) (a+b)A=aA+bA
(5) a(А+В)=aА+aВ
Среди предложенных матриц выбрать те, у которых ранг равен 3
(1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 2\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} 2 & 5 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 1\\ 3 & 0 & 1 & 2\\ 7 & 4 & 4 & 3\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{cccc} 2 & 5 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 1\\ 3 & 0 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 4 & 3\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0\\ 2 & 2 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 2 & 0\\ 3 & 5 & 5 & -1\\ \end{array} \right)
Какие из матриц являются минорами матрицы А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1\\ 2 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 2\\ \end{array} \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 2 \\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & 2 \\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{array} \right)
Какие матрицы, из ниже перечисленных, имеют ранг = 2?
(1) $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & 2% \end{array}% \right) $ \end{document}
(2) $\left( \begin{array}{ccccc} 2 & -1 & 2 & -2 & 3 \\ 6 & -3 & 7 & -4 & 8 \\ 2 & -1 & 1 & -4 & 4% \end{array}% \right) $
(3) $\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & -3 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 0 & 5 & -3 & 4% \end{array}% \right) $
Какие операторы являются нелинейными?
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Какое скалярное произведение будет иметь произвольные векторы math и math, при math и math, при math?
(1) -1
(2) 4
(3) 0
Какая матрица, из ниже перечисленных, будет сопряженной матрицей, матрице A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & i & 1+i \\ 2i & 2-3i & 0% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 1 & -2i \\ -i & 2+3i \\ 1-i & 0% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 1 & 2i \\ i & 2-3i \\ 1+i & 0% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -i & 1-i \\ -2i & 2+3i & 0% \end{array}% \right)
Какой индекс инерции будет иметь квадратичная форма math?
(1) форма положительно определена
(2) каждый индекс инерции равен 2
(3) положительный индекс инерции равен 1, отрицательный индекс инерции равен 3
Выберите правильные свойства для А и В - матриц, α - число
(1) A(BC)=(AB)C
(2) AB=BA
(3) (A+B)C=AC+BC
(4) A(B+C)=AB+AC
(5) (αA)B=A(αB)
(6) A2-B2=(A+B)(A-B)
Дана система векторов\left\{ \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0\\1\\1\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\3\\2\\\end{array} \right) \right\}. Какие из векторов входят в линейную оболочку указанной системы?
(1) math
(2) \left( \begin{array}{c} 1\\2\\0\\\end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{c} 1\\3\\7\\\end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{c} 0\\3\\6\\\end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{c} 3\\2\\6\\\end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{c} 3\\3\\9\\\end{array} \right)
Выбрать алгебраические дополнения для А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1\\ 2 & 4 & 1\\ 3 & 5 & 2\\ \end{array} \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 5 & 2 \\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1\\ 0 & 4 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & -1\\ -2 & -4 & -1\\ -3 & -5 & -2\\ \end{array} \right)
Какие, из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами?
(1) math (a - фиксированный вектор)
(2) math (a - фиксированный вектор)
(3) math (a - фиксированный вектор)
(4) math (V - евклидово пространство, a,b - фиксированные векторы)
(5) math (V - евклидово пространство, a - фиксированные векторы)
Оператор P=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0% \end{array}% \right). Будет оператором:
(1) проецирования на ось ОХ
(2) отражения относительно плоскости YOZ
(3) поворота относительно оси OX
Каким вектором можно дополнить систему векторов: x_{1}=(1,-2,1,3) x_{2}=(2,1,-3,1) до ортогонального базиса?
(1) math
(2) math
(3) math
Выберите верные утверждения:
(1) всякую комплексную матрицу С (с элементами math) можно представить в виде math
(2) если все элементы матрицы А действительные числа, то сопряженная матрица совпадает с транспонированной, т.е. math
(3) квадратная матрица А называется эрмитовой, если math
Как будет выглядеть квадратичная форма math, если привести ее к нормальному виду треугольным преобразованием неизвестных?
(1) math
(2) math
(3) y_{1}=x_{1}-x_{3}-2x_{4},\ y_{2}=2x_{2}+x_{3},\ y_{3}=3x_{3}+2x_{4},\ y_{4}=4x_{4}
Сумма каких матриц равна \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4\\ 0 & 3 & 5\\ 7 & 8 & 1\\ \end{array} \right)?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 2\\ -4 & 2 & 3\\ 4 & 3 & 0\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} -3 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2\\ 3 & 5 & 1\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 2\\ -4 & 2 & 3\\ 4 & 3 & 0\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} -3 & 4 & 3\\ 1 & 1 & 5\\ 2 & 2 & 1\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 3\\ -2 & 0 & 1\\ 5 & 4 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & -2\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 5\\ 2 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & -2\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 5\\ 2 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 7\\ 2 & 4 & -2\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 5\\ 0 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & -2\\ \end{array} \right)
Для прямоугольных матриц В и С и квадратной матрицы А=ВС верно
(1) если у В линейно независимые строки, а у С линейно независимы столбцы, то А - невырожденная
(2) если у С линейно независимые строки, а у В линейно независимы столбцы, то А - невырожденная
(3) если у В линейно независимы строки, то rank A = rank C
Выбрать четные перестановки
(1) (1,2,3,4)
(2) (1,3,2,4)
(3) (1,4,3,2)
(4) (1,4,2,3)
(5) (3,2,4,1)
(6) (3,4,2,1)
Какую матрицу будет иметь оператор \left( x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\right) \ \rightarrow \ \left( x_{1},\ x_{1}\ +\ 2x_{2},\ x_{2}\ +\ 3x_{3}\right) в пространстве math в базисе из единственных векторов?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 4% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3% \end{array}% \right)
Какое собственное значение будет иметь матрица порядка n. \left( \begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 0 & ... & & & 0 \\ -1 & 0 & 1 & ... & & & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & -1 & 0% \end{array}% \right)
(1) math
(2) math
(3) math
Пусть math - ортонормированный базис евклидова пространства. Какое выражение будет для скалярного произведения прозвольных векторов x и y через их координаты в базисе math, где math?
(1) (x,y)=\lambda _{1}^{2}\alpha _{1}\beta _{1}+\lambda _{2}^{2}\alpha _{2}\beta _{2}+...+\lambda _{n}^{2}\alpha _{n}\beta _{n}
(2) (x,y)=\lambda _{1}\alpha _{1}\beta _{1}+\lambda _{2}\alpha _{2}\beta _{2}+...+\lambda _{n}\alpha _{n}\beta _{n}
(3) (x,y)=(2\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1})+(\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{3}\beta _{3}+...+\alpha _{n}\beta _{n})
Какое ядро отображения будет иметь матрица A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1% \end{array}% \right)
(1) ker A=2
(2) ker A=0
(3) ker A=1
Какое треугольное разложение будет иметь матрица \left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 1 \\ -2 & 1 & 3% \end{array}% \right) при формуле math?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array}% \right)
Чему равно произведение матриц \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1\\ 1 & 0 & -2\\ 2 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0\\ 5 & -2 & 1\\ \end{array} \right)?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 5 & 2\\ -7 & 6 & 1\\ 14 & 3 & 7\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 7 & 2\\ -7 & 6 & 3\\ 11 & 2 & 7\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 2\\ -7 & 8 & 1\\ 11 & 2 & 3\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 7 & 2\\ -7 & 6 & 1\\ 11 & 2 & 7\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 7 & 2\\ 12 & 6 & 1\\ 11 & 2 & 9\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 7 & 6\\ -7 & 6 & 1\\ 5 & 2 & 7\\ \end{array} \right)
Для двух линейных подпространств L1 и L2 заданы базисы. Выбрать удовлетворяющие условию dim ( L1 + L2 ) = 6
(1) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}
(2) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(3) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(4) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0\\\end{array} \right) \right \}
(5) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}
(6) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
Выбрать правильные утверждения для квадратных матриц
(1) у любой матрицы можно вычислить детерминант
(2) если матрица невырожденная, то детерминант неравен нулю
(3) если детерминант равен нулю, то матрица вырожденная
(4) у любой матрицы det(A)=det(AT)
(5) не существует матрицы, у которой det(A)=det(A)
(6) для любых матриц A и B верно det(AB)=det(A)det(B)
Матрица A\ =\ $\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0% \end{array}% \right) будет иметь оператор:
(1) поворота плоскости на угол math в произвольном ортонормированном базисе
(2) проектирования трехмерного пространства на координптную ось вектора math параллельно координатной плоскости векторов math и math в базисе math
(3) math в пространстве math в базисе из матричных единиц
Выберите верные утверждения:
(1) ортогональную матрицу Q можно определить как такую матрицу, для которой транспонированная матрица math равна обратной матрице math
(2) квадратная матрица Q тогда и только тогда будет ортогональной, если сумма квадратов всех элементов любой ее стороны равна 0, а сумма произведений соответственных элементов любых двух ее различных строк равна 1
(3) квадратная матрица Q тогда и только тогда будет ортогональной, если сумма квадратов всех элементов любой ее стороны равна 1, а сумма произведений соответственных элементов любых двух ее различных строк равна 0
Какой ортогональный базис подпространства, натянутого на систему векторов x_{1}=(2,3,-4,-6)\\ x_{2}=(1,8,-2,-16)\\ x_{3}=(12,5,-14,5)\\ x_{4}=(3,11,4,-7) будет, если применить процесс ортогонализации?
(1) y_{1}=x_{1}=(1,1,-1,-2)\\ y_{2}=(2,3,1,3)\\ y_{3}=(2,1,1,0)
(2) y_{1}=x_{1}=(1,1,-1,-2)\\ y_{2}=(2,5,1,3)\\ y_{3}=(2,-1,1,0)
(3) y_{1}=x_{1}=(2,3,-4,-6)\\ y_{2}=(-3,2,6,-4)\\ y_{3}=(4,6,2,3)
Базис ядра: math будет иметь матрица:
(1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -5 \\ 1 & 2 & 11% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 0% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 & 0% \end{array}% \right)
Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы F=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3} G=2x$_{1}^{2}+8x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+8x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} к каноническому виду?
(1) матрицы форм F и G перестановочны . Ортогональное преобразование неизвестных y_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{2},\ \ y_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3},\ \ y_{3}=% \frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{3}{\sqrt{6}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{6}}x_{3} приводит форму к каноническуому виду math, а форму G - к каноническому виду math
(2) форма F положительно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{3},\ \ z_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{6}}x_{2}-\frac{2}{% \sqrt{6}}x_{3},\ \ z_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\sqrt{2}x_{3}$ приводит форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math
(3) форма F отрицательно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{3}x_{1}-\frac{4}{3}x_{2}+x_{3},\ \ z_{2}=\frac{2}{3}x_{1}-% \frac{5}{3}x_{2}-2x_{3},\ \ z_{3}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}-3x_{3} приводят форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math
Какая из матриц является диагональной?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ \end{array} \right)
Выбрать ошибочные наборы векторов, составляющих базис
(1) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(2) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(3) \left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(4) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\4 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(5) \left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\2 \\2 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(6) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\5 \\4 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
Выбрать правильные утверждения
(1) существует ненулевая матрица перестановка столбцов которой не изменяет ее детерминанта
(2) det(A)=ndet(A), где n-размерность матрицы А
(3) det\left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \ldots & a_{1i} + b_{1i} & \ldots & a_{1n}\\ &&\vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{ni} + b_{ni} & \ldots & a_{nn}\\ \end{array} \right)=det\left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \ldots & a_{1i} & \ldots & a_{1n}\\ & &\vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{ni} & \ldots & a_{nn}\\ \end{array} \right)+det\left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \ldots & b_{1i} & \ldots & a_{1n}\\ && \vdots \\ a_{n1} & \ldots & b_{ni} & \ldots & a_{nn}\\ \end{array} \right)
Пусть линейный оператор в пространстве math в базисе math имеет матрицу \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 & 3 \\ 6 & 1 & -1 & 7% \end{array}% \right) Какая будет матрица этого оператора в базисе math?
(1) \left( \begin{array}{cccc} -5 & -8 & -6 & -2 \\ 2 & 4 & 4 & 0 \\ -3 & -2 & -1 & -5 \\ 6 & 7 & 6 & 13% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cccc} 4 & 5 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 3 \\ 1 & 6 & -1 & 7% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} 4 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 3 \\ -1 & 6 & 1 & 7% \end{array}% \right)
Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что для нормального оператора в унитарном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов?
(1) пусть math. Тогда math и (Ax_{1},x_{2})=(x_{1},A^{\ast }x_{2})=(x_{1},\lambda _{2}x_{2})=% \lambda _{2}(x_{1},x_{2}). Следовательно, math.
(2) инвариантное подпространство для нормального оператора инвариантно и для сопряженного и ограничение нормального оператора на инвариантном подпространстве нормально. Поэтому, пространство можно разбивать в прямую ортогональную сумму инвариантных подпространств до тех пор, пока не придем к одномерным подпространствам.
(3) для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что math диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов.
Какая будет ортогональная проекция и перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L, при условиях, что math, L натянутую на векторы y_{1}=(-3,0,7,6)\\ y_{2}=(1,4,3,2)\\ y_{3}=(2,2,-2,-2)
(1) math
(2) math
(3) math
В пространстве многочленов math задано скалярное произведение (f,g)=a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}, где f(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}, \ \ g(t)=b_{0}+b_{1}+b_{2}t^{2}. Как будет выглядеть матрица оператора дифференцирования А и сопряженного оператора math в базисе math?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0% \end{array}% \right) ,\ \ \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{2}{3} & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0% \end{array}% \right)
(2) \frac{1}{2}\left( \begin{array}{ccc} -3 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 3% \end{array}% \right) ,\ \ \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0% \end{array}% \right) ,\ \ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0% \end{array}% \right)
Какие квадратные формы, из ниже перечисленных, будут отрицательно определены?
(1) x% _{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2x_{4}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{4}
(2) math
(3) math
Какие из приведенных коэффициентов доказывают линейную зависимость (независимость) векторов \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\3 \\3 \\2 \\\end{array} \right)
(1) 1, 2, 3, 0
(2) 1, 2, 3, -1
(3) 0, 0, 0, 0
(4) 3, 2, 1, 1
(5) 2, 4, 6, -2
(6) 2, 4, 6, 0
Определить, является ли линейным заданное подпространство для указанного пространства?
(1) Линейное пространство определено как всевозможные системы действительных чисел х=(х1,х2,х3). Сложение и умножение на число определены как x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) ax=(ax1,ax2,ax3). Подпространство определено как z=(0,z1,z2)
(2) Линейное пространство определено, как множество геометрических векторов. Подпространство - множество векторов с началом в начале координат и лежащих в первом октанте
(3) Линейное пространство определено как всевозможные многочлены не выше пятой степени. Подпространство - многочлены вида a0t5+a1t3+a3
Найти собственные числа матрицы\left( \begin{array}{cc} 10 & 3\\ -5 & 2\\ \end{array} \right)
(1) 4
(2) 5
(3) 6
(4) 7
(5) 8
(6) 9
Какие подпространства, из перечисленных ниже, являются инвариантными подпространствами для оператора дифференцирования в пространстве math?
(1) math и math
(2) math
(3) math
Доказательство, какого следствия приведено ниже: Если math - угол между вектором math и подпространством W, то math?
(1) math причем равенство достигается только при math
(2) \left\Vert \upsilon -w_{1}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \upsilon -w\right\Vert ^{2}+\left\Vert w-w_{1}\right\Vert ^{2}
(3) для ортогональных векторов math в math m-мерное подпространство W, образующее с ними данные углы math, существует тогда и только тогда, когда \frac{\cos ^{2}\alpha _{1}+...+\cos ^{2}\alpha _{n}}{\cos ^{2}-\alpha _{i}}% \geq m при i=1,...,n.
Какой биортогональный базис будет иметь базис пространства math: e_{1}=(1,0,0,0)\\ e_{2}=(0,2,0,0)\\ e_{3}=(0,0,3,0)\\ e_{4}=(0,0,0,4)
(1) f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,\frac{1}{2},0,0),\ f_{3}=(0,0,\frac{1}{3},0),\ f_{4}=(0,0,0,\frac{1}{4})
(2) f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,1,0,0),\ f_{3}=(-1,-2,1,-3),\ f_{4}=(0,0,0,1)
(3) f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(-1,1,0,0),\ f_{3}=(0,-1,1,0),\ f_{4}=(0,0,-1,1)
Какой квадратный корень будет иметь матрица \left( \begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -3 & 5% \end{array}% \right)
(1) \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -1 & 3% \end{array}% \right)
(2) \frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4% \end{array}% \right)
(3) \frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 14 & 2 & -4 \\ 2 & 17 & 2 \\ -4 & 2 & 14% \end{array}% \right)
Матрицей квадратичной формы называется:
(1) вырожденная матрица math
(2) невырожденная матрица math
(3) симметричная матрица math, составленная из коэффициентов квадратичной формы
Вычислить значение 2С-АВ, если А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2\\ -2 & 4\\ 3 & 0\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & -2\\ 2 & -1 & 4\\ \end{array} \right) С=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & -1\\ 4 & 0 & 2\\ \end{array} \right)
(1) \left( \begin{array}{ccc} -5 & 4 & 4\\ 2 & 8 & -22\\ -1 & 6 & 10\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} -5 & 6 & -8\\ 2 & 8 & -22\\ -1 & -6 & 10\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} -5 & 4 & -4\\ 2 & 8 & -22\\ -1 & -6 & 10\\ \end{array} \right)
(4) в данном случае произвести расчет нельзя, матрицы не согласованы по числу строк и столбцов
Линейное пространство определено как всевозможные многочлены не выше пятой степени. Подпространство R1 - многочлены вида a0t4+a1t2+a3 Подпространство R2 - многочлены вида b0t+b1. Найти R3=R1∩R2 и R4=R1+R2
(1) R1+R2 =a0t4+a1t2+a2t+a3
(2) R1+R2 =a0t4+a1t3+a2t2+a3t+a4
(3) R1∩R2=a
(4) R1∩R2 пустое множество
(5) R1+R2 все пространство
Какие из векторов являются собственными для характеристического числа =7 матрицы\left( \begin{array}{cc} 10 & 3\\ -5 & 2\\ \end{array} \right)
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Определите подпространства в трехвекторном пространстве, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей \left( \begin{array}{ccc} 4 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1% \end{array}% \right)
(1) math
(2) math
(3) math
(4) U=\left\langle \left( 1,\ 1,\ 0\right) ,\ \left( 1,\ 0,\ -1\right) \right\rangle
(5) math
Как будет выглядеть матрица X в уравнении \left( \begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 3% \end{array}% \right) X=\left( \begin{array}{cc} 4 & -6 \\ 2 & 1% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 2 & -23 \\ 0 & 8% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 6 & 11 \\ 3 & 4% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 8 & -30 \\ 2 & 3% \end{array}% \right)
Какой угол будет между векторами math, math?
(1) math
(2) math
(3) math
Квадратный корень \frac{1}{2}\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1% \end{array}% \right) будет иметь матрица:
(1) \left( \begin{array}{ccc} 24 & 6 & -12 \\ 6 & 33 & 6 \\ -12 & 6 & 24% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2% \end{array}% \right)
Как будет выглядеть кососимметрическая билинейная функция math, если привести ее к каноническому виду?
(1) x_{1}^{^{\prime }}y_{2}^{^{\prime }}-x_{2}^{^{\prime }}y_{1}^{^{\prime }}+x_{3}^{^{\prime }}y_{4}^{^{\prime }}-x_{4}^{^{\prime }}y_{3}^{^{\prime }}, где \ x_{1}^{^{\prime }}=x_{1}-2x_{3},\ \ x_{2}^{^{\prime }}=x_{2}-x_{4},\ \ x_{3}^{^{\prime }}=x_{3}
(2) x_{1}^{^{\prime }}y_{2}^{^{\prime }}-x_{2}^{^{\prime }}y_{1}^{^{\prime }},\ где \ x_{1}^{^{\prime }}=x_{1}-2x_{3},\ \ x_{2}^{^{\prime }}=x_{2}-x_{3},\ \ x_{3}^{^{\prime }}=x_{3}
(3) x_{1}^{^{\prime }}y_{2}^{^{\prime }}-x_{2}^{^{\prime }}y_{1}^{^{\prime }},\ \ где \ x_{1}^{^{\prime }}=x_{1}-\frac{3}{2}x_{3},\ \ x_{2}^{^{\prime }}=2x_{2}+x_{3},\ \ x_{3}^{^{\prime }}=x_{3}
Дана система из n векторов, содержащих m строк. Ранг системы определяется как
(1) минимальное из чисел n и m
(2) максимальное из чисел n и m
(3) максимальное количество линейно независимых векторов, которые из нее можно выделить
(4) максимальное количество линейно независимых строк в матрице, составленной из векторов
(5) максимальное количество линейно независимых столбцов в матрице, составленной из векторов
(6) произведение nm
Найти базис B и размерность подпространства L решений линейной однородной системы уравнений \left\{ \begin{array}{r} x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\\ 1/2x_1+x_2+3/2x_3+2x_4=0\\ 1/3x_1+2/3x_2+x_3+4/3x_4=0\\ 1/4x_1+1/2x_2+3/4x_3+x_4=0\\ \end{array}
(1) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
(2) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
(3) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -7 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -6 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
(4) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \}
(5) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \}
(6) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \}
Выбрать верные высказывания
(1) не существует матрицы 3х3, у которой любые две строки линейно независимы, а три зависимы
(2) det(A-I)=0 равносильно существованию ненулевого решения для системы (A-I)х=0
(3) пусть характеристическое уравнение (-1) n n+...+det(A)=0, имеет только вещественные корни, то они различные и их количество равно n
(4) геометрическая кратность корня характеристического уравнения не превосходит алгебраическую кратность
Какие имеет собственные векторы и значения оператор дифференцирования в пространстве math?
(1) многочлены нулевой степени
(2) одночлены
(3) math
Какая матрица, является обратной матрице \left( \begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 0 & ... & & 0 \\ -1 & 2 & -1 & ... & & 0 \\ 0 & -1 & 2 & ... & & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 2% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{ccccc} n & n-1 & n-2 & ... & 1 \\ n-1 & n-1 & n-2 & ... & 1 \\ n-2 & n-2 & n-2 & ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1% \end{array}% \right)
(2) \frac{1}{n+1}\left( \begin{array}{ccccc} 1\cdot n & 1\cdot (n-1) & 1\cdot (n-2) & ... & 1\cdot 1 \\ 1\cdot (n-1) & 2\cdot (n-1) & 2\cdot (n-2) & ... & 2\cdot 1 \\ 1\cdot (n-2) & 2\cdot (n-2) & 3\cdot (n-2) & ... & 3\cdot 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1\cdot 1 & 2\cdot 1 & 3\cdot 1 & ... & n\cdot 1% \end{array}% \right)
(3) \frac{1}{n}\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & \varepsilon ^{-1} & \varepsilon ^{-2} & ... & \varepsilon ^{-n+1} \\ 1 & \varepsilon ^{-2} & \varepsilon ^{-4} & ... & \varepsilon ^{-2n+2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & \varepsilon ^{-n+1} & \varepsilon ^{-2n+2} & ... & \varepsilon ^{-(n-1)^{2}}% \end{array}% \right)
Какие будут косинусы внутренних углов треугольника ABC, заданного координатами вершин math, math, math?
(1) \cos A=-\frac{5}{\sqrt{39}},\ \cos B=-\frac{3}{\sqrt{78}},\ \cos C=\frac{2}{% \sqrt{3}}
(2) \cos A=\frac{3}{\sqrt{78}},\ \cos B=\frac{4}{\sqrt{56}},\ \cos C=\frac{% \sqrt{2}}{3}
(3) \cos A=\frac{5}{\sqrt{39}},\ \cos B=\frac{8}{\sqrt{78}},\ \cos C=-\frac{% \sqrt{2}}{3}
При возведении матрицы \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 1% \end{array}% \right) в степень 3, получиться матрица:
(1) \left( \begin{array}{ccc} 6 & 3 & 6 \\ 9 & 12 & 3 \\ 0 & 6 & 3% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 44 & 61 & 31 \\ 99 & 124 & 68 \\ 42 & 52 & 25% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 8 & 1 & 8 \\ 27 & 32 & 1 \\ 0 & 8 & 1% \end{array}% \right)
Какое уравнение поверхностей 2-го порядка будет иметь канонический вид \frac{\sqrt{6}}{4}y_{1}^{2}-y_{2}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\frac{1}{6}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{8}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
(1) math
(2) math
(3) math
Найти координаты вектораХ=\left( \begin{array}{c} 1\\1\\2\\\end{array} \right) в базисе R=\left\{ \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0\\1\\1\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\0\\1\\\end{array} \right) \right\}
(1) 1, 0, 1
(2) 0, 1, 0
(3) 1, 1, 0
(4) 0, 1, 1
(5) 1, 1, 1
(6) 1, 0, 0
Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений \left\{ \begin{array}{r} 5x_1+3x_2+5x_3+12x_4=10\\ 2x_1+2x_2+3x_3+5x_4=4\\ x_1+7x_2+9x_3+4x_4=2\\ \end{array}
(1) общее решение х1=(х3-3х4-2)/7 х2=(7х4+х3+3)/9
(2) общее решение х3=(х1-9х2-2)/11 х4=(-5х1+х2+10)/11
(3) общее решение х1=(5х2-6х4-2) х3=(5х2+8х4+2)
(4) частное решение (0,1,1,-1)
(5) частное решение (1,0,-1,1)
(6) частное решение (0,1,-1,1)
Найти производную от det(A) по х, если А=\left( \begin{array}{ccc} x^2 & x^3 & x^4\\ x & x^2 & x^3\\ 1 & x & x^2\\ \end{array} \right)
(1) x4+3x3+2x2+x+1
(2) x4+2x2+1
(3) x4+2x2
(4) 3x3+x+1
(5) 3x3+x
(6) 0
Пусть math - линейное преобразование пространства math. Линейное подпространство math называется инвариантным относительно math, если:
(1) для любого math
(2) для любого math и math
(3) для каждого вектора X из math вектор Ax также принадлежит math
Чему будет равен ранг матрицы \left( \begin{array}{cccc} 0 & 4 & 10 & 1 \\ 4 & 8 & 18 & 7 \\ 10 & 18 & 40 & 17 \\ 1 & 7 & 17 & 3% \end{array}% \right)
(1) 3
(2) 2
(3) 6
Какой будет угол между вектором math и линейным подпространством натянутым на векторы a_{1}=(3,4,-4,-1)\\ a_{2}=(0,1,-1,2)
(1) math
(2) math
(3) math
Какие собственные значения будет иметь матрица A=$\left( \begin{array}{ccc} 5 & -4 & 1 \\ -4 & 6 & -4 \\ 1 & -4 & 5% \end{array}% \right)
(1) math
(2) math
(3) math
Какая квадратичная форма, из ниже перечисленных, будет иметь вид 4x_{1}^{^{\prime }2}+x_{2}^{^{\prime }2}-2x_{3}^{^{\prime }2},\ \ x_{1}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}+\frac{1}{3}x_{3},\ \ x_{2}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}+\frac{1}{3}x_{2}-\frac{2}{3}x_{3},\ \ x_{3}^{^{\prime }}=\frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}+\frac{2}{3}x_{3}
(1) math
(2) math
(3) math
Транспонированная матрица обладает свойствами
(1) (AT )T =A
(2) (AB)T=ATBT
(3) (A+B)T=AT+BT
(4) (αA)T=αAT
(5) число строк всегда равно числу столбцов
(6) на диагонали обязательно найдется ненулевой элемент
Найти общее решение в зависимости от параметра \left\{ \begin{array}{r} 18x_1+6x_2+3x_3+2x_4=5\\ -12x_1-3x_2-3x_3+3x_4=-6\\ 4x_1+5x_2+2x_3+3x_4=3\\ \lambda x_1+4x_2+x_3+4x_4=2\\ \end{array}
(1) при math система несовместна
(2) при math система несовместна
(3) math
(4) math
(5) math
Пусть матрицы А и В такие, что их элементы связваны соотношением аij≥bij≥0, то
(1) det(A)≥det(B)
(2) det(B)≥det(A)
(3) det(A+B)≥det(B)
(4) det(A)≥det(A-B)
Если math, то math. Приведенное выше доказательство, доказывает, что:
(1) если оператор math имеет собственное значение math, то одно из чисел math и math является собственным значением оператора math
(2) в пространстве math линейный оператор math имеет множество собственных значений math
(3) если оператор math невырожденный, то операторы math и math имеют одни и те же собственные векторы
Какая система линейных уравнений, из ниже перечисленных, не имеет решений?
(1) x_{1}-2x_{2}+x_{3}+x_{4}=1\\ x_{1}-2x_{2}+x_{3}-x_{4}=-1\\ x_{1}-2x_{2}+x_{3}+5x_{4}=5
(2) x_{1}+x_{2}-3x_{3}=-1\\ 2x_{1}+x_{2}-2x_{3}=1\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\\ x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=1
(3) 2x_{1}-x_{2}+3x_{3}=3\\ 3x_{1}+x_{2}-5x_{3}=0\\ 4x_{1}-x_{2}+x_{3}=3\\ x_{1}+3x_{2}-13x_{3}=-6
Линейное преобразование math в базисе math имеет матрицу \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3% \end{array}% \right). Как будет выглядеть матрица этого же преобразования в базисе: math?
(1) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 & 1 \\ 3 & -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 3% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} -1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0% \end{array}% \right)
Какой квадратный корень будет иметь матрица A=\left( \begin{array}{ccc} 5 & -4 & 1 \\ -4 & 6 & -4 \\ 1 & -4 & 5% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2% \end{array}% \right)
Какой канонический вид будут иметь уравнения поверхностей второго порядка math?
(1) 3y_{1}^{2}+4y_{2}^{2}+8\sqrt{6}y_{3}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
(2) 4y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}-8=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1% \end{array}% \right) +\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
(3) 2y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}+\frac{1}{2}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
Примерами линейного пространства являются
(1) квадратные матрицы одной размерности
(2) диагональные матрицы одной размерности
(3) единичные матрицы одной размерности
(4) нулевые матрицы одной размерности
(5) ненулевые матрицы одной размерности
Выбрать верные утверждения
(1) если l1...lk различные собственные числа матрицы А и х1...хk - соответствующие им собственные вектора, то х1...хk - линейно независимы
(2) собственные числа матриц А и А-1 не совпадают
(3) собственные вектора матриц А и А-1 совпадают
Многочленной матрицей называется:
(1) матрица, элементами которой являются многочлены переменной math
(2) матрица math n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле: math
(3) math - матрица math, если math
Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Если P-проектор, I-P - тоже проектор, причем Ker (I-P)=Im P и Im (I-P")=Ker P"?
(1) если math, то math. math состоит из векторов math, т.е. math. Аналогично math.
(2) любой вектор math можно представить в виде math, где math и math. Кроме того, если math, то math. В самом деле, тогда math и math, поэтому math. Следовательно, math. Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид.
(3) Выберем в пространстве W ортонормированный базис math. Рассмотрим вектор math. Условие math означает, что 0=(\lambda _{1}e_{1}+...+\lambda _{k}e_{k}-\upsilon ,\ e_{i})=\lambda _{i}-(\upsilon ,e_{i}), т.е. math. Выбрав такие числа math, получим требуемый вектор math.
Если math является билинейной формой, то пара math называется:
(1) билинейной функцией
(2) модулем с билинейной формой
(3) билинейной формой на свободном модуле
Как называется оператор math, если f(\overline{x})\cdot \overline{y}=\overline{x}\cdot f^{\ast }(\overline{y}% )\ \ \forall \overline{x},\overline{y}\in E_{n}?
(1) самосопряженным
(2) сопряженным линейному оператору math
(3) ортогональным
Какую матрицу имеет квадратичная форма math?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & \frac{1}{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -3% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 3% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -1 \\ 3 & -1 & 0% \end{array}% \right)
Какие из матриц являются единичными?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 2\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 &\\ 0 & 1 &\\ \end{array} \right)
Выбрать неоднородные системы линейных уравнений
(1) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4-1=0\\ 5x_2-7x_3=2\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}
(2) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-7x_3=2\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}
(3) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-7x_3=0\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}
(4) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3+x_4-1=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=2\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4-6=0\\ \end{array}
(5) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4=0\\ \end{array}
(6) \left\{ \begin{array}{c} x_1^2+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4=0\\ \end{array}
Найти det A, если А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 2\\ \end{array} \right)
(1) 4
(2) 5
(3) 6
(4) -4
(5) -5
(6) -6
Ранг матрицы $\left( \begin{array}{ccccc} 47 & -67 & 35 & 201 & 155 \\ 26 & 98 & 23 & -294 & 86 \\ 16 & -428 & 1 & 1284 & 52% \end{array}% \right) $ будет равен:
(1) 2
(2) 1
(3) 4
Какие операторы являются линейными?
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Выберите не верные утверждения:
(1) если math, то элементы x и y модуля с билинейной формой math называют ортогональными
(2) если для любых элементов x и y math, то билинейная форма называется симметрической
(3) если для каждого элемента x math, то билинейная форма называется кососимметрической
Если матрицу A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 4 & -5 \\ -4 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0% \end{array}% \right) транспонировать, то получится матрица math равная:
(1) \left( \begin{array}{ccc} -5 & 6 & 0 \\ -4 & 0 & 6 \\ 0 & 4 & -5% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 5 & -4 & 0 \\ -6 & 0 & 4 \\ 0 & 6 & 5% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & -4 & 5 \\ 4 & 0 & -6 \\ -5 & 6 & 0% \end{array}% \right)
Какое будет ортогональное преобразование неизвестных для квадратичной формы math, приводящую эту форму к каноническому виду?
(1) -7y_{1}^{2}+2y_{2}^{2},\ \ x_{1}=\frac{2}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}+\frac{3}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{1}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{2}{% \sqrt{6}}y_{2}-\frac{2}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{3}=\frac{4}{\sqrt{21}}y_{1}+% \frac{1}{\sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{14}}y_{3}
(2) -y_{1}^{2}-7y_{2}^{2}+5y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{3}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{2}{\sqrt{6}}y_{1}-% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{2},\ \ x_{3}=-\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}% y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3}
(3) y_{1}^{2}+7y_{2}^{2}+y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ x_{2}=-\frac{2}{\sqrt{6}}y_{2}+% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ \ x_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3}
Какие из утверждений верные?
(1) сложение матриц обладает свойством ассоциативности
(2) сложение матриц А + B определено только в том случае, если матрица А имеет размерность mxn, а В nxk
(3) сложение матриц А + B определено только в том случае, если размерности матриц А и В совпадают
Среди предложенных матриц выбрать те, у которых ранг равен 2
(1) \left( \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 1\\ 3 & 2\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 2 & 2\\ 1 & 1\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 1\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0\\ 2 & 2 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 2 & 0\\ 3 & 5 & 5 & -1\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 0\\ 2 & 2 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 2 & 0\\ 8 & 4 & 3 & 1\\ \end{array} \right)
Какие из матриц являются минорами матрицы А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 5\\ \end{array} \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 1 & 5 \\ \end{array} \right)
(2) -\left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 1 & 5 \\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right)
Какие матрицы, из ниже перечисленных, имеют ранг = 3?
(1) $\left( \begin{array}{ccccc} 17 & -28 & 45 & 11 & 39 \\ 24 & -37 & 61 & 13 & 50 \\ 25 & -7 & 32 & -18 & -11 \\ 31 & 12 & 19 & -43 & -55 \\ 42 & 13 & 29 & -55 & -68% \end{array}% \right) $
(2) $\left( \begin{array}{cccc} 25 & 31 & 17 & 43 \\ 75 & 94 & 53 & 132 \\ 75 & 94 & 54 & 134 \\ 25 & 32 & 20 & 48% \end{array}% \right) $
(3) $\left( \begin{array}{ccccc} 24 & 19 & 36 & 72 & -38 \\ 49 & 40 & 73 & 147 & -80 \\ 73 & 59 & 98 & 219 & -118 \\ 47 & 36 & 71 & 141 & -72% \end{array}% \right) $
Какие операторы являются нелинейными?
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Какое скалярное произведение будет иметь произвольные векторы math и math, при math и math, при math?
(1) -1
(2) 4
(3) 0
Какая матрица, из ниже перечисленных, будет сопряженной матрицей, матрице \left( \begin{array}{cc} 2i & 1+i \\ 1-i & 2+3i% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 2i & 1-i \\ 1+i & 2+3i% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} -2i & 1+i \\ 1-i & 2-3i% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 1-i & 2+3i \\ 2i & 1+i% \end{array}% \right)
Какой индекс инерции будет иметь квадратичная форма math?
(1) форма положительно определена
(2) каждый индекс инерции равен 2
(3) положительный индекс инерции равен 1, отрицательный индекс инерции равен 3
Какое из утверждений верное?
(1) умножение матриц АB определено только в том случае, если матрица А имеет размерность m x n, а В - n x m
(2) умножение матриц АB определено только в том случае, если количество строк в матрице А соответствует количеству столбцов в матрице B
(3) умножение матриц АB определено только в том случае, если количества элементов в матрицах совпадают
Дана система векторов\left\{ \left( \begin{array}{c} 1\\1\\2\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\0\\2\\\end{array} \right) \right\}. Какие из векторов входят в линейную оболочку указанной системы?
(1) math
(2) \left( \begin{array}{c} 3\\2\\6\\\end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{c} 6\\1\\5\\\end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{c} 1\\2\\1\\\end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{c} 3\\2\\6\\1\\\end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{c} 5\\-1\\6\\\end{array} \right)
Выбрать алгебраические дополнения для А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\\ 3 & 4 & 1\\ \end{array} \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 2\\ -1 & 2 & 3\\ -3 & 1 & 4\\ \end{array} \right)
Какие, из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами?
(1) math (a,b - фиксированные числа)
(2) math
(3) math
Оператор P=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & -1/2 & 1/2% \end{array}% \right). Будет оператором:
(1) отражения относительно плоскости y-z=0
(2) поворота относительно оси OZ
(3) проецирования на плоскость y+z=0
Каким вектором можно дополнить систему векторов: x_{1}=(1,-1,1,-3) x_{2}=(-4,1,5,0) до ортогонального базиса?
(1) math
(2) math
(3) math
Выберите не верные утверждения:
(1) всякую комплексную матрицу С (с элементами math) можно представить в виде math
(2) если все элементы матрицы А действительные числа, то сопряженная матрица совпадает с транспонированной, т.е. math
(3) квадратная матрица А называется эрмитовой, если math
Какие преобразования переменных позволят привести квадратичную форму math к нормальному виду?
(1) math
(2) math
(3) y_{1}=x_{1}-x_{3}-2x_{4},\ y_{2}=2x_{2}+x_{3},\ y_{3}=3x_{3}+2x_{4},\ y_{4}=4x_{4}
Сумма каких матриц равна \left( \begin{array}{ccc} 7 & -2 & 5\\ 2 & 6 & 4\\ 3 & 1 & 3\\ \end{array} \right)?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -3 & 5\\ 1 & 3 & 0\\ 3 & -3 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 4\\ 0 & 4 & 0\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -3 & 5\\ 1 & 3 & 0\\ 3 & -3 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 4\\ 0 & 4 & 0\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 3\\ -3 & 3 & -3\\ 5 & 0 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 4\\ 0 & 4 & 0\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -3 & 5\\ 1 & 3 & 1\\ 3 & -3 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 4\\ 0 & 4 & 0\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3\\ 2 & 4 & 3\\ 1 & 0 & 2\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} 5 & -4 & 6\\ 2 & 1 & 5\\ 1 & -6 & 2\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & -1\\ 0 & 5 & -1\\ 2 & 5 & 1\\ \end{array} \right)
Для прямоугольных матриц В и С и квадратной матрицы А=ВС верно
(1) если у С линейно независимы строки, то rank A = rank В
(2) если у А линейно независимы строки, то у В и С линейно независимы столбцы
(3) если у А линейно зависимы строки, то у В или С линейно зависимы столбцы
Выбрать нечетные перестановки
(1) (1,2,4,3)
(2) (1,3,5,4)
(3) (4,1,3,2)
(4) (1,4,3,2)
(5) (3,4,2,1)
(6) (4,3,2,1)
Какую матрицу будет иметь оператор X$\ \rightarrow \ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d% \end{array}% \right) \ X в пространстве math в базисе из матричных единиц?
(1) \left( \begin{array}{cccc} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cccc} a & c & 0 & 0 \\ b & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & c \\ 0 & 0 & b & d% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array}% \right)
Какое собственное значение будет иметь матрица порядка n. \left( \begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 0 & ... & & & 0 \\ 1 & 0 & 1 & ... & & & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 0% \end{array}% \right)
(1) math
(2) math
(3) math
Пусть math - ортонормированный базис евклидова пространства. Какое выражение будет для скалярного произведения прозвольных векторов x и y через их координаты в базисе math?
(1) (x,y)=\lambda _{1}^{2}\alpha _{1}\beta _{1}+\lambda _{2}^{2}\alpha _{2}\beta _{2}+...+\lambda _{n}^{2}\alpha _{n}\beta _{n}
(2) (x,y)=\lambda _{1}\alpha _{1}\beta _{1}+\lambda _{2}\alpha _{2}\beta _{2}+...+\lambda _{n}\alpha _{n}\beta _{n}
(3) (x,y)=(2\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1})+(\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{3}\beta _{3}+...+\alpha _{n}\beta _{n})
Какое ядро отображения будет иметь матрица A=\left( \begin{array}{ccc} 4 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1% \end{array}% \right)
(1) базис ядра: math
(2) базис ядра: math
(3) базис ядра: math
Какое треугольное разложение будет иметь матрица \left( \begin{array}{ccc} 9 & -3 & 0 \\ -3 & 5 & -4 \\ 0 & -4 & 5% \end{array}% \right) при формуле math?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array}% \right)
Чему равно произведение матриц \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ -2 & 4 & -1\\ 3 & 0 & 2\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & -2\\ 2 & -1 & 4\\ 5 & -2 & 2\\ \end{array} \right)?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -4 & 8\\ -3 & -5 & 8\\ 9 & 2 & -2\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 9\\ -4 & -5 & 2\\ 8 & 8 & -2\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & -5 & 7\\ -3 & -6 & 0\\ 7 & 6 & -2\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 12 & -3 & 19\\ -2 & -6 & 2\\ 8 & 18 & -2\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 12 & -2 & 8\\ -3 & -6 & 18\\ 19 & 2 & -2\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} 12 & -2 & 4\\ -3 & -6 & 18\\ 6 & 2 & -2\\ \end{array} \right)
Для двух линейных подпространств L1 и L2 заданы базисы. Выбрать удовлетворяющие условию dim ( L1 + L2 ) = 4
(1) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}
(2) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\2 \\2 \\2 \\2 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\1 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \right \}
(3) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(4) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(5) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \right \}
(6) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\2 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\2 \\2 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\2 \\1 \\\end{array} \right) \right \}
Выбрать правильные утверждения
(1) если матрица неквадратная, то ее детерминант отличен от нуля
(2) если матрица неквадратная, то ее детерминант равен нулю
(3) у любой матрицы можно вычислить детерминант
(4) для диагональной матрицы можно найти детерминант
(5) для любых матриц A и B верно det(AB)=det(A)det(B)
(6) детерминант вырожденной квадратной матрицы равен нулю
Матрицу A\ =\ \left( \begin{array}{cccc} a & c & 0 & 0 \\ b & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & c \\ 0 & 0 & b & d% \end{array}% \right) будет иметь оператор:
(1) math (A, B - фиксированные матрицы) в пространстве math в базисе, состоящем из матричных единиц
(2) дифференцирования в пространстве math в базисе math
(3) X\ \rightarrow \ X\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d% \end{array}% \right) в пространстве math в базисе из матричных единиц
Выберите не верные утверждения:
(1) ортогональную матрицу Q можно определить как такую матрицу, для которой транспонированная матрица math равна обратной матрице math
(2) квадратная матрица Q тогда и только тогда будет ортогональной, если сумма квадратов всех элементов любой ее стороны равна 0, а сумма произведений соответственных элементов любых двух ее различных строк равна 1
(3) квадратная матрица Q тогда и только тогда будет ортогональной, если сумма квадратов всех элементов любой ее стороны равна 1, а сумма произведений соответственных элементов любых двух ее различных строк равна 0
Какой ортогональный базис подпространства, натянутого на систему векторов x_{1}=(1,1,-1,-2)\\ x_{2}=(-2,1,5,11)\\ x_{3}=(0,3,5,7)\\ x_{4}=(3,-3,-3,-9) будет, если применить процесс ортогонализации?
(1) y_{1}=x_{1}=(1,1,-1,-2)\\ y_{2}=(2,3,1,3)\\ y_{3}=(2,1,1,0)
(2) y_{1}=x_{1}=(1,1,-1,-2)\\ y_{2}=(2,5,1,3)\\ y_{3}=(2,-1,1,0)
(3) y_{1}=x_{1}=(2,3,-4,-6)\\ y_{2}=(-3,2,6,-4)\\ y_{3}=(4,6,2,3)
Базис ядра: math будет иметь матрица:
(1) \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \\ -1 & -3 & 4% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -5 & 11% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 0% \end{array}% \right)
Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы F=x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3} G=x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-10x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} к каноническому виду?
(1) матрицы форм F и G перестановочны . Ортогональное преобразование неизвестных y_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{2},\ \ y_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3},\ \ y_{3}=% \frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{3}{\sqrt{6}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{6}}x_{3} приводит форму к каноническуому виду math, а форму G - к каноническому виду math
(2) форма F положительно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{3},\ \ z_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{6}}x_{2}-\frac{2}{% \sqrt{6}}x_{3},\ \ z_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\sqrt{2}x_{3}$ приводит форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math
(3) форма F отрицательно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{3}x_{1}-\frac{4}{3}x_{2}+x_{3},\ \ z_{2}=\frac{2}{3}x_{1}-% \frac{5}{3}x_{2}-2x_{3},\ \ z_{3}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}-3x_{3} приводят форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math
Диагональная матрица обладает свойствами
(1) на диагонали стоят только 1
(2) на диагонали стоят только одинаковые элементы
(3) на диагонали стоят только отличные от 0 элементы
(4) на диагонали всегда найдутся ненулевые элементы
(5) вне диагонали стоят только 0
(6) всегда число строк и столбцов совпадает
Выбрать наборы векторов, которые могут составлять базис
(1) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\2 \\2 \\2 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(2) \left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(3) \left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(4) \left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \right \}
(5) \left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\2 \\3 \\4 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(6) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(1) если после перстановки столбцов матрицы детерминант не изменился, то матрица - вырожденная
(2) если столбец матрицы умножить на число, то детерминант умножится на то же самое число
(3) det(-A)=-det(A)
Пусть линейный оператор в пространстве math имеет в базисе math матрицу \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0% \end{array}% \right) Какая будет его матрица в базисе math?
(1) \left( \begin{array}{ccc} -\frac{1}{3} & \ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 0 & \ 3 & 2 \\ 2 & 0 & 3% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}% \end{array}% \right)
Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что ортогональность собственных векторов нормального оператора в унитарном пространстве, принадлежит различным собственным значениям?
(1) пусть math. Тогда math и (Ax_{1},x_{2})=(x_{1},A^{\ast }x_{2})=(x_{1},\lambda _{2}x_{2})=% \lambda _{2}(x_{1},x_{2}). Следовательно, math.
(2) инвариантное подпространство для нормального оператора инвариантно и для сопряженного и ограничение нормального оператора на инвариантном подпространстве нормально. Поэтому, пространство можно разбивать в прямую ортогональную сумму инвариантных подпространств до тех пор, пока не придем к одномерным подпространствам.
(3) для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что math диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов.
Какая будет ортогональная проекция и перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L, при условиях, что math, L натянутую на векторы y_{1}=(1,3,3,5) y_{2}=(1,3,-5,-3) y_{3}=(1,-5,3,-3)
(1) math
(2) math
(3) math
В пространстве многочленов math задано скалярное произведение (f,g)=a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}, где f(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}, \ \ g(t)=b_{0}+b_{1}+b_{2}t^{2}. Как будет выглядеть матрица оператора дифференцирования А и сопряженного оператора math в базисе \left( \frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2}t,\ t^{2}-1,\ \frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{2% }t\right)
(1) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0% \end{array}% \right) ,\ \ \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{2}{3} & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0% \end{array}% \right)
(2) \frac{1}{2}\left( \begin{array}{ccc} -3 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 3% \end{array}% \right) ,\ \ \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0% \end{array}% \right) ,\ \ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0% \end{array}% \right)
Какие квадратные формы, из ниже перечисленных, будут положительно определены?
(1) math
(2) math
(3) x% _{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2x_{4}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{4}
Какие из приведенных коэффициентов доказывают линейную зависимость векторов \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right)
(1) 1, 1, -1, 2, 1
(2) 1, 1, -1, 0, 1
(3) 1, 1, 0, -1, 0
(4) 0, 1, 1, 1, -1
(5) 0, 1, 0, -1, 1
(6) 0, 0, -1, 1, -1
Определить, является ли линейным заданное подпространство для указанного пространства?
(1) Линейное пространство определено, как множество геометрических векторов. Подпространство - множество векторов с началом в начале координат и лежащих в первом или седьмом октанте (октанты расположено центрально симметрично)
(2) Линейное пространство - точки 1 октанта, не лежащие на координатных плоскостях. Сложение точек Р1=(х1,y1,z1) Р2=(x2,y2,z2) определено как Р1+Р2=(x1x2,y1y2,z1z2), умножение на число P=(x, y, z. Подпространство - множество точек на плоскости z=1
(3) Линейное пространство определено, как множество геометрических векторов. Подпространство - множество векторов a=Xi+Yj+Zk, где X,Y,Z - рациональные числа?
Найти собственные числа матрицы\left( \begin{array}{cc} 5 & 2\\ 1 & 4\\ \end{array} \right)
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 5
(6) 6
Какие подпространства, из перечисленных ниже, являются инвариантными подпространствами для линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу, состоящую из одной жордановой клетки?
(1) math
(2) math
(3) math
Доказательство, какого следствия приведено ниже: вектор math ортогонален всему пространству V.
(1) если math - ортонормированный базис пространства V и math, то math
(2) если w и math- ортогональные проекции вектора math на подпространства W и math, то math
(3) \left\Vert \upsilon -w_{1}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \upsilon -w\right\Vert ^{2}+\left\Vert w-w_{1}\right\Vert ^{2}
Какой биортогональный базис будет иметь базис пространства math e_{1}=(1,0,1,0)\\ e_{2}=(0,1,2,0)\\ e_{3}=(0,0,1,0)\\ e_{4}=(0,0,3,1)
(1) f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,\frac{1}{2},0,0),\ f_{3}=(0,0,\frac{1}{3},0),\ f_{4}=(0,0,0,\frac{1}{4})
(2) f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,1,0,0),\ f_{3}=(-1,-2,1,-3),\ f_{4}=(0,0,0,1)
(3) f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(-1,1,0,0),\ f_{3}=(0,-1,1,0),\ f_{4}=(0,0,-1,1)
Какой квадратный корень будет иметь матрица \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2% \end{array}% \right)
(1) \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -1 & 3% \end{array}% \right)
(2) \frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4% \end{array}% \right)
(3) \frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 14 & 2 & -4 \\ 2 & 17 & 2 \\ -4 & 2 & 14% \end{array}% \right)
Невырожденной квадратичной формой называется:
(1) невырожденная матрица math
(2) вырожденная матрица math
(3) симметричная матрица math, составленная из коэффициентов квадратичной формы
Вычислить значение 2C+АВ, если А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2\\ -2 & 4\\ 3 & 0\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & -2\\ 2 & -1 & 4\\ \end{array} \right) С=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & -1\\ 4 & 0 & 2\\ \end{array} \right)
(1) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 4 & 8\\ 6 & 8 & 1\\ 17 & 6 & -2\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 4 & 8\\ 6 & -8 & 8\\ 7 & 6 & -2\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 4 & 8\\ 6 & -8 & 18\\ 1 & 6 & 2\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 7 & 4 & 8\\ 6 & -8 & 18\\ 17 & 5 & -2\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 4 & 8\\ 6 & -8 & 18\\ 17 & 6 & -2\\ \end{array} \right)
(6) В данном случае произвести расчет нельзя, матрицы не согласованы по числу строк и столбцов
Линейное пространство определено, как множество геометрических векторов. R1 - множество векторов, параллельных плоскости ОXY R2 - множество векторов, параллельных плоскости ОXZ. Найти R3=R1∩R2 и R4=R1+R2
(1) R3 - множество векторов параллельных оси ОХ
(2) R3 - множество векторов параллельных оси ОY
(3) R3 - множество векторов параллельных оси ОZ
(4) R3 - пустое
(5) R4 - все пространство
(6) R4 - множество векторов параллельных плоскости ОYZ
Какие из векторов являются собственными для характеристического числа =-2 матрицы\left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 3\\ 3 & -5 & 3\\ 6 & -6 & 4\\ \end{array} \right)
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Определите, какие подпространства в math и math, инвариантные относительно оператора math:
(1) math
(2) линейная оболочка любого множества одночленов степени не выше math
(3) U=\left\langle \left( 1,\ 1,\ 0\right) ,\ \left( 1,\ 0,\ -1\right) \right\rangle
(4) R\left[ x\right] _{k},\ \left( k=1,...,n\right) ,\ \ C\left[ x\right] _{m}\ \ \ (m=1,...,n)
Как будет выглядеть матрица X в уравнении X\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 5% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{ccc} -3 & 2 & 0 \\ -4 & 5 & -2 \\ -5 & 3 & 0% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & -4% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 8 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 5% \end{array}% \right)
Какой угол будет между векторами math, math?
(1) math
(2) math
(3) math
Квадратный корень \frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 14 & 2 & -4 \\ 2 & 17 & 2 \\ -4 & 2 & 14% \end{array}% \right) будет иметь матрица:
(1) \left( \begin{array}{ccc} 24 & 6 & -12 \\ 6 & 33 & 6 \\ -12 & 6 & 24% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2% \end{array}% \right)
Определить math, если R=\left\{ \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0\\1\\1\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right) \right\}
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
(5) 4
Найти базис B и размерность подпространства L решений линейной однородной системы уравнений \left\{ \begin{array}{r} x_1-2x_2+x_3=0\\ 2x_1-x_2-x_3=0\\ -2x_1+4x_2-2x_3=0\\ \end{array}
(1) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \}
(2) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \}
(3) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
(4) dim~L=1~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
(5) dim~L=1~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1 \\\end{array} \right) \right \}
(6) dim~L=1~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
Выбрать верные высказывания для матрицы А и многочлена p(A)=a 0I + a 1A +...+ a mA m
(1) собственные вектора А являются собственными векторами р(А)
(2) собственные числа р(А) являются собственными числами А
(3) собственные числа А являются собственными числами р(А)
(4) геометрическая кратность корней р(А) может быть больше геометрической кратности корней А
Какие имеет собственные векторы и значения оператор math в пространстве math?
(1) math
(2) одночлены
(3) math
Какая матрица, является обратной матрице \left( \begin{array}{cccccc} 2 & -1 & 0 & ... & & 0 \\ -1 & 2 & -1 & ... & & 0 \\ 0 & -1 & 2 & ... & & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 2% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{ccccc} n & n-1 & n-2 & ... & 1 \\ n-1 & n-1 & n-2 & ... & 1 \\ n-2 & n-2 & n-2 & ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1% \end{array}% \right)
(2) \frac{1}{n+1}\left( \begin{array}{ccccc} 1\cdot n & 1\cdot (n-1) & 1\cdot (n-2) & ... & 1\cdot 1 \\ 1\cdot (n-1) & 2\cdot (n-1) & 2\cdot (n-2) & ... & 2\cdot 1 \\ 1\cdot (n-2) & 2\cdot (n-2) & 3\cdot (n-2) & ... & 3\cdot 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1\cdot 1 & 2\cdot 1 & 3\cdot 1 & ... & n\cdot 1% \end{array}% \right)
(3) \frac{1}{n}\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & \varepsilon ^{-1} & \varepsilon ^{-2} & ... & \varepsilon ^{-n+1} \\ 1 & \varepsilon ^{-2} & \varepsilon ^{-4} & ... & \varepsilon ^{-2n+2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & \varepsilon ^{-n+1} & \varepsilon ^{-2n+2} & ... & \varepsilon ^{-(n-1)^{2}}% \end{array}% \right)
Какие будут косинусы углов между прямой math и осями координат?
(1) math
(2) math
(3) math
При возведении матрицы \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7% \end{array}% \right) в степень 2, получиться матрица:
(1) \left( \begin{array}{cccc} 30 & 40 & 50 & 60 \\ 40 & 54 & 68 & 82 \\ 50 & 68 & 86 & 104 \\ 60 & 82 & 104 & 126% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cccc} 20 & 40 & 60 & 50 \\ 52 & 65 & 75 & 75 \\ 60 & 78 & 86 & 90 \\ 70 & 82 & 96 & 116% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 9 & 16 & 25 & 36 \\ 16 & 25 & 36 & 42% \end{array}% \right)
Какое уравнение поверхностей 2-го порядка будет иметь канонический вид y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
(1) math
(2) math
(3) math
Если в линейном пространстве определен базис, то
(1) его можно определить только одним способом
(2) вектора, входящие в базис линейно независимы
(3) любой вектор линейного пространства выражается через базис
(4) в некоторых случаях можно задать более одного разложения вектора данного пространства по базису
Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений \left\{ \begin{array}{r} -9x_1+6x_2+7x_3+10x_4=3\\ -6x_1+4x_2+2x_3+3x_4=2\\ -3x_1+2x_2-11x_3-15x_4=1\\ \end{array}
(1) общее решение х1=(х3-3х4-2)/7 х2=(7х4+х3+3)/9
(2) общее решение х3=(х1-9х2-2)/11 х4=(-5х1+х2+10)/11
(3) общее решение х3=-11/8х4 х1=2/3х2+1/24х4-1/3
(4) частное решение (-1/3,0,0,0)
(5) частное решение (0,1/3,1,0)
(6) частное решение (1,0,1/3,0)
Найти производную от det(A) по х, если А=\left( \begin{array}{ccc} x^2 & x & 1\\ 2x & x & 1\\ 1 & x & x^2\\ \end{array} \right)
(1) x2(x+3)(x-5)
(2) x4-2x3-15x2
(3) 5x4+8x3-5x2
(4) -5x4+8x3+5x2
(5) x2(x-3)(x+5)
(6) x4-2x3-15x2
Вектор math, удовлетворяющий соотношению math, называется:
(1) каноническим вектором
(2) собственным вектором
(3) собственным значением
Чему будет равен ранг матрицы \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6% \end{array}% \right)
(1) 1
(2) 2
(3) 5
Какой будет угол между вектором math и линейным подпространством натянутым на векторы math
(1) math
(2) math
(3) math
Какие собственные значения будет иметь матрица A=$\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2% \end{array}% \right)
(1) math
(2) math
(3) math
Какая квадратичная форма, из ниже перечисленных, будет иметь вид 2x_{1}^{^{\prime }2}-x_{2}^{^{\prime }2}+5x_{3}^{^{\prime }3},\ \ x_{1}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{1}{3}x_{2}-\frac{2}{3}x_{3},\ \ x_{2}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}+\frac{1}{3}x_{3},\ \ x_{3}^{^{\prime }}=\frac{1}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}+\frac{2}{3}x_{3}
(1) math
(2) math
(3) math
Какие из матриц соответствуют паре прямая матрица - транспонированная матрица
(1) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 4 & 7 & 2\\ 2 & 5 & 8 & 2\\ 3 & 6 & 9 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ 7 & 8 & 0\\ 2 & 2 & 3\\ \end{array} \right)
(2) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 4 & 7 & 2\\ 2 & 1 & 8 & 2\\ 3 & 6 & 1 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\\ 2 & 2 & 3\\ \end{array} \right)
(3) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 4 & 7 & 2\\ 2 & 5 & 8 & 2\\ 3 & 6 & 9 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\\ 2 & 2 & 3\\ \end{array} \right)
(4) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 5 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 9 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\\ 2 & 2 & 3\\ \end{array} \right)
(5) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 4 & 7 & 2\\ 2 & 5 & 8 & 2\\ 3 & 6 & 9 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)
(6) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ \end{array} \right)
Выбрать верные утверждения
(1) существует матрица 3х3, у которой любые две строки линейно независимы, а три зависимы
(2) кратности собственных чисел матриц А и AT одинаковы
(3) собственные вектора матриц А и A-1 различны
Из равенства math следует, что math, где k - степень math. Приведенное выше доказательство, доказывает, что:
(1) если оператор math имеет собственное значение math, то одно из чисел math и math является собственным значением оператора math
(2) в пространстве math линейный оператор math имеет множество собственных значений math
(3) если оператор А невырожденный, то операторы А и math имеют одни и те же собственные векторы
Какая система линейных уравнений, из ниже перечисленных, не имеет решений?
(1) 2x_{1}-x_{2}+3x_{3}=3\\ 3x_{1}+x_{2}-5x_{3}=0\\ 4x_{1}-x_{2}+x_{3}=3\\ x_{1}+3x_{2}-13x_{3}=-6
(2) 2x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=1\\ 3x_{1}-2x_{2}+2x_{3}-3x_{4}=2\\ 5x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4}=-1\\ 2x_{1}-x_{2}+x_{3}-3x_{4}=4
(3) x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-4x_{4}=4\\ x_{2}-x_{3}+x_{4}=-3\\ x_{1}+3x_{2}-3x_{4}=1\\ -7x_{2}+3x_{3}+x_{4}=-3
Линейное преобразование math в базисе math имеет матрицу \left( \begin{array}{ccc} 15 & -11 & 5 \\ 20 & -15 & 8 \\ 8 & -7 & 6% \end{array}% \right) Как будет выглядеть матрица в базисе f_{1}=2e_{1}+3e_{2}+e_{3},\ \ f_{2}=3e_{1}+4e_{2}+e_{3},\ \ f_{3}=e_{1}+2e_{2}+2e_{3}?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0% \end{array}% \right)
Какой квадратный корень будет иметь матрица A=\left( \begin{array}{ccc} 14 & 4 & 18 \\ 4 & 5 & 3 \\ 18 & 5 & 25% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 0% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ -4 & 3 & 0% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 0% \end{array}% \right)
Какой канонический вид будут иметь уравнения поверхностей второго порядка math?
(1) 3y_{1}^{2}+4y_{2}^{2}+8\sqrt{6}y_{3}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
(2) 4y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}-8=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1% \end{array}% \right) +\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
(3) 2y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}+\frac{1}{2}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
Примерами линейного пространства являются
(1) множество столбцов
(2) множество строк
(3) множество ненулевых столбцов
(4) множество ненулевых строк
(5) все многочлены
(6) многочлены степени от n до m
Выбрать верные утверждения
(1) пусть характеристическое уравнение (-1) n n+...+det(A)=0, имеет только вещественные корни, то их количество равно n с учетом кратности
(2) алгебраическая и геометрическая кратности корней соппадают
(3) для матриц размера nxn ∃∈R: det(A-(1-AT)=0 при n-нечетном
Многочлены e_{1}(\lambda )=d_{1}(\lambda ),\ e_{2}(\lambda )=\frac{d_{2}(\lambda )}{% d_{1}(\lambda )},\ ...,\ e_{r}(\lambda )=\frac{d_{r}(\lambda )}{% d_{r-1}(\lambda )}$ называются:
(1) инвариантными множителями math - матрицы math
(2) рангом math - матрицы
(3) характеристическим многочленом матрицы А
Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Для любого вектора math существует единственная ортогональная проекция на подпространство W"?
(1) если math, то math. math состоит из векторов math, т.е. math. Аналогично math.
(2) любой вектор math можно представить в виде math, где math и math. Кроме того, если math, то math. В самом деле, тогда math и math, поэтому math. Следовательно, math. Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид.
(3) Выберем в пространстве W ортонормированный базис math. Рассмотрим вектор math. Условие math означает, что 0=(\lambda _{1}e_{1}+...+\lambda _{k}e_{k}-\upsilon ,\ e_{i})=\lambda _{i}-(\upsilon ,e_{i}), т.е. math. Выбрав такие числа math, получим требуемый вектор math.
Если для любых элементов x и y math, то билинейная форма называется:
(1) кимплектической
(2) кососимметрической
(3) симметрической
Как называется оператор math, если f(\overline{x})\cdot \overline{y}=\overline{x}\cdot f(\overline{y})\ \ \forall \overline{x},\overline{y}\in E_{n}?
(1) самосопряженным
(2) сопряженным линейному оператору math
(3) ортогональным
Какую матрицу имеет квадратичная форма math?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & \frac{1}{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -3% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 1 \\ 4 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -1 \\ 3 & -1 & 0% \end{array}% \right)
Какая из матриц является единичной?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)
Выбрать однородные системы линейных уравнений
(1) \left\{ \begin{array}{c} \sqrt2x_1+3x_4-1=0\\ 5x_2-7x_3^2-2=0\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}
(2) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-7x_3=2\\ x_1+x_2-x_4=0\\ \end{array}
(3) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-\sqrt7x_3=0\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}
(4) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3=x_4\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3=x_4\\ \end{array}
(5) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3=x_4\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+\sqrt2x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3=x_4\\ \end{array}
(6) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3=x_4\\ x_1+x_2-x_3^2+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3=x_4\\ \end{array}
Найти det A, если А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1\\ 2 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ \end{array} \right)
(1) 4
(2) 5
(3) 6
(4) -4
(5) -5
(6) -6
Ранг матрицы $\left( \begin{array}{ccccc} 24 & 19 & 36 & 72 & -38 \\ 49 & 40 & 73 & 147 & -80 \\ 73 & 59 & 98 & 219 & -118 \\ 47 & 36 & 71 & 141 & -72% \end{array}% \right) $ будет равен:
(1) 5
(2) 3
(3) 6
Какие операторы являются линейными?
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Выберите не верные утверждения:
(1) элементы x и y модуля с билинейной формой math называется ортогональной, если math
(2) если для любых элементов x и y math, то билинейная форма называется симметрической
(3) если для каждого элемента x math, то билинейная форма называется кососимметрической
Если матрицу A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 6 \\ 5 & 6 & 3% \end{array}% \right) транспонировать, то получится матрица math равная:
(1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 6 \\ 5 & 6 & 3% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 5 & 6 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 1 & 4 & 5% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 5 & 4 & 1 \\ 6 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 5% \end{array}% \right)
Какое будет ортогональное преобразование неизвестных для квадратичной формы math, приводящую эту форму к каноническому виду?
(1) -7y_{1}^{2}+2y_{2}^{2},\ \ x_{1}=\frac{2}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}+\frac{3}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{1}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{2}{% \sqrt{6}}y_{2}-\frac{2}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{3}=-\frac{4}{\sqrt{21}}y_{1}+% \frac{1}{\sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{14}}y_{3}
(2) -y_{1}^{2}-7y_{2}^{2}+5y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{3}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{2}{\sqrt{6}}y_{1}-% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{2},\ \ x_{3}=-\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}% y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3}
(3) y_{1}^{2}+7y_{2}^{2}+y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ x_{2}=-\frac{2}{\sqrt{6}}y_{2}+% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ \ x_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3}
Какие из утверждений верные?
(1) сложение матриц обладает свойством коммутативности
(2) сложение матриц обладает свойством дистрибутивности относительно умножения
(3) сложение матриц А + B определено только в том случае, если матрица А имеет размерность mxn, а В nxm
Среди предложенных матриц выбрать те, у которых ранг равен 3
(1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 2\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 6\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1\\ 3 & 2 & 2 & 1\\ 7 & 6 & 7 & 3\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 3\\ \end{array} \right)
Какие из матриц являются минорами матрицы А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1\\ 2 & 4 & 1\\ 3 & 5 & 2\\ \end{array} \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 5 & 2 \\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 4 & 1 \\ \end{array} \right)
Какие матрицы, из ниже перечисленных, не имеют ранг = 1?
(1) $\left( \begin{array}{ccccc} 2 & -4 & 4 & 2 & 12 \\ 0 & 2 & -16 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0% \end{array}% \right) $
(2) $\left( \begin{array}{cccc} 8 & -2 & 64 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0% \end{array}% \right) $
(3) $\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & 7 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0% \end{array}% \right) $
Какие операторы являются нелинейными?
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Какое скалярное произведение будет иметь произвольные векторы math и math, при math и math, при (x,y)=\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1}+2\alpha _{2}\beta _{2}?
(1) -1
(2) 4
(3) 0
Какая матрица, из ниже перечисленных, будет сопряженной матрицей, матрице \left( \begin{array}{cc} 1 & 3-2i \\ 3+2i & 2% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 3+2i & 2 \\ 1 & 3-2i% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3+2i \\ 3-2i & 2% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3-2i \\ 3+2i & 2% \end{array}% \right)
Какой индекс инерции будет иметь квадратичная форма math?
(1) форма положительно определена
(2) каждый индекс инерции равен 2
(3) положительный индекс инерции равен 1, отрицательный индекс инерции равен 3
Какие из утверждений верные?
(1) умножение матриц обладает свойством ассоциативности
(2) умножение матриц обладает свойством коммутативности
(3) умножение и сложение матриц обладает свойством дистрибутивности
Дана система векторов\left\{ \left( \begin{array}{c} 3\\2\\2\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\0\\2\\\end{array} \right) \right\}. Какие из векторов входят в линейную оболочку указанной системы?
(1) math
(2) \left( \begin{array}{c} 1\\2\\1\\\end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{c} 9\\2\\5\\\end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{c} 9\\3\\3\\\end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{c} 2\\3\\2\\\end{array} \right)
Выбрать алгебраические дополнения для А=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 1 & 3\\ \end{array} \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 5 & 2 \\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 3\\ 2 & 3 & 2\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1\\ -1 & -1 & -3\\ -2 & -3 & -2\\ \end{array} \right)
Какие, из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами?
(1) math
(2) (x_{1},\ x_{2},\ x_{3})\ \rightarrow \ (x_{1}+3x_{3},\ x_{2}^{3},\ x_{1}+x_{3}\ )
(3) math
Оператор P=\left( \begin{array}{ccc} 1/2 & -1/2 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right). Будет оператором:
(1) поворота относительно оси OY на угол math
(2) проецирования на плоскость x+y=0
(3) отражения относительно плоскости y-z=0
Каким вектором можно дополнить систему векторов: x_{1}=(-\frac{11}{15},-\frac{2}{15},\frac{2}{3})\ x_{2}=(-\frac{2}{15},-\frac{14}{15},-\frac{1}{3}) до ортогонального базиса?
(1) math
(2) math
(3) math
Выберите не верные утверждения:
(1) Квадратная матрица А называется симметрической, если math
(2) Квадратная матрица А называется несимметрической, если math
(3) Квадратная матрица А называется эрмитовой, если math
Как будет выглядеть квадратичная форма math, если привести ее к нормальному виду треугольным преобразованием неизвестных?
(1) math
(2) math
(3) y_{1}=x_{1}-x_{3}-2x_{4},\ y_{2}=2x_{2}+x_{3},\ y_{3}=3x_{3}+2x_{4},\ y_{4}=4x_{4}
Сумма каких матриц равна \left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & 6\\ 9 & 1 & 3\\ 5 & 4 & 7\\ \end{array} \right)?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5\\ 1 & 3 & 0\\ 3 & -3 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ 8 & 3 & 4\\ 2 & 4 & 0\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3\\ -3 & 3 & -3\\ 5 & 0 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ 8 & -2 & 3\\ 2 & 7 & 4\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5\\ 1 & 3 & 0\\ 3 & -3 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 2\\ 1 & -2 & 7\\ 1 & 3 & 4\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 2\\ 4 & 2 & 5\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 3\\ 5 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 2\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 4\\ 7 & 0 & 4\\ 4 & 4 & 5\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 2\\ \end{array} \right)
Сколько подпространств размерности 1 может содержаться в Rn при различных n
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
(5) 4
(6) бесконечно много
Выбрать четные перестановки
(1) (2,1,3,4)
(2) (1,3,4,2)
(3) (1,3,4,2)
(4) (1,4,2,3)
(5) (3,2,4,1)
(6) (2,4,1,3)
Какую матрицу будет иметь оператор дифференцирования в пространстве math в базисе math?
(1) \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ n & 0 & 0 & .. & 0 & 0 \\ 0 & n-1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n-2 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 0% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0% \end{array}% \right)
Какое собственное значение будет иметь матрица порядка n. \left( \begin{array}{cccccc} -1 & 1 & 0 & ... & & 0 \\ 1 & 0 & 1 & ... & & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ... & & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 0% \end{array}% \right)
(1) math
(2) math
(3) math
Какое скалярное произведение будет иметь вектор math?
(1) 9
(2) 0
(3) 3
Какое ядро отображения будет иметь матрица A=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \\ -1 & -3 & 4% \end{array}% \right)
(1) базис ядра: math
(2) базис ядра: math
(3) базис ядра: math
Какое треугольное разложение будет иметь матрица \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 8 & 4 \\ 3 & 8 & 14 & 20 \\ 4 & 11 & 20 & 30% \end{array}% \right) при формуле math?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array}% \right)
Чему равно произведение матриц \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & 7\\ 2 & 6 & 4\\ 5 & -2 & 7\\ \end{array} \right)?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 4 & 1\\ 2 & 6 & 4\\ 3 & 4 & 1\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 2 & 9\\ 0 & 6 & 0\\ 14 & 4 & 14\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 0 & 14\\ 2 & 6 & 4\\ 9 & 0 & 14\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 4\\ 1 & 3 & 4\\ 7 & 0 & 4\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 7 & 1 & 7\\ 0 & 3 & 0\\ 4 & 4 & 4\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 1\\ 2 & 6 & 4\\ 5 & 0 & 4\\ \end{array} \right)
Для двух линейных подпространств L1 и L2 заданы базисы. Выбрать удовлетворяющие условию dim ( L1 + L2 ) = 5
(1) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\2 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\3 \\2 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 6 \\3 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 9 \\6 \\3 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(2) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 3 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 5 \\5 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(3) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}
(4) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(5) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\1 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 4 \\4 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\4 \\4 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\4 \\4 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\4 \\4 \\\end{array} \right) \right \}
(6) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\3 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\3 \\4 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} -1 \\2 \\3 \\4 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\-2 \\3 \\4 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\-2 \\-4 \\4 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}
Выбрать правильные утверждения
(1) линейная комбинация строк, добавленная к матрице, ее детерминанта не меняет
(2) если детерминант матрицы равен нулю, то в матрице есть нулевой столбец
(3) если детерминант матрицы равен нулю, то в матрице есть нулевая строка
(4) если в матрице есть нулевой столбец, то детерминант матрицы равен нулю
(5) если в матрице есть нулевая строка, то детерминант матрицы равен нулю
(6)
Матрицы \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0% \end{array}% \right) и \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0% \end{array}% \right) будет иметь оператор:
(1) поворота трехмерного пространства на угол math вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями math, в базисе из единичных векторов осей координат
(2) math (А, В - фиксированные матрицы в пространстве math) в базисе из матричных единиц
(3) дифференцирования в пространстве math в базисе math
Выберите верные утверждения:
(1) определитель ортогональной матрицы равен math
(2) всякое ортогональное преобразование неизвестных является невырожденным
(3) не всякая матрица с определителем равным math, будет ортогональной
Какой нормированный вектор ортогонален к векторам math?
(1) math
(2) math
(3) (\frac{3}{\sqrt{15}},\frac{1}{\sqrt{15}},\frac{2}{\sqrt{15}},\frac{1}{\sqrt{% 15}})
Базис ядра: math будет иметь матрица:
(1) \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \\ -1 & -3 & 4% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -5 & 11% \end{array}% \right)
Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы F=-x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}-14x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3} G=-x_{1}^{2}-14x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+8x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} к каноническому виду?
(1) матрицы форм F и G перестановочны . Ортогональное преобразование неизвестных y_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{2},\ \ y_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3},\ \ y_{3}=% \frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{3}{\sqrt{6}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{6}}x_{3} приводит форму к каноническуому виду math, а форму G - к каноническому виду math
(2) форма F положительно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{3},\ \ z_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{6}}x_{2}-\frac{2}{% \sqrt{6}}x_{3},\ \ z_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\sqrt{2}x_{3}$ приводит форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math
(3) форма F отрицательно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{3}x_{1}-\frac{4}{3}x_{2}+x_{3},\ \ z_{2}=\frac{2}{3}x_{1}-% \frac{5}{3}x_{2}-2x_{3},\ \ z_{3}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}-3x_{3} приводят форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math
Какая из матриц является диагональной?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)
(6) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ \end{array} \right)
Выбрать наборы векторов, которые не могут составлять базис
(1) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\1 \\\end{array} \right) \right \}
(2) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 5 \\3 \\3 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \right \}
(3) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\2 \\\end{array} \right) \right \}
(4) \left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\4 \\0 \\0 \\2 \\6 \\\end{array} \right) \right \}
(5) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\3 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\4 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\9 \\\end{array} \right) \right \}
(6) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\3 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\6 \\3 \\2 \\2 \\5 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\4 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\5 \\\end{array} \right) \right \}
(1) перстановка столбцов меняет знак детерминанта
(2) если det(-A)=-det(A) и det(A)≠0, то матрица нечетной размерности
(3) если матрица нечетной размерности, то det(-A)=-det(A)
Пусть линейный оператор в пространстве math имеет в базисе \left( \left( 8,\ -6,\ 7\right) ,\ \left( -16,\ 7,\ -13\right) ,\ \left( 9,\ -3,\ 7\right) \right) матрицу \left( \begin{array}{ccc} 1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 20 \\ 1 & -25 & 22% \end{array}% \right) Какая будет его матрица в базисе \left( \left( 1,\ -2,\ 1\right) ,\ \left( 3,\ -1,\ 2\right) ,\ \left( 2,\ 1,\ 2\right) \right)?
(1) \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 1% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 2% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & -3 & 1% \end{array}% \right)
Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что, евклидово пространство, в котором определен нормальный оператор А,раскладывается в прямую ортогональную сумму инвариантных одномерных и двумерных неприводимых подпространств?
(1) пусть math. Тогда math и (Ax_{1},x_{2})=(x_{1},A^{\ast }x_{2})=(x_{1},\lambda _{2}x_{2})=% \lambda _{2}(x_{1},x_{2}). Следовательно, math.
(2) инвариантное подпространство для нормального оператора инвариантно и для сопряженного и ограничение нормального оператора на инвариантном подпространстве нормально. Поэтому, пространство можно разбивать в прямую ортогональную сумму инвариантных подпространств до тех пор, пока не придем к одномерным подпространствам.
(3) для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что math диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов.
Какая будет ортогональная проекция и перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L, при условиях, что math, L - задано системой уравнений: 3\alpha _{1}+2\alpha _{2}+\alpha _{3}-2\alpha _{4}=0\\ 5\alpha _{1}+4\alpha _{2}+3\alpha _{3}+2\alpha _{4}=0\\ \alpha _{1}+2\alpha _{2}+3\alpha _{3}+10\alpha _{4}=0
(1) math
(2) math
(3) math
В пространстве многочленов math задано скалярное произведение (f,g)=a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}, где f(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}, \ \ g(t)=b_{0}+b_{1}+b_{2}t^{2}. Как будет выглядеть матрица оператора дифференцирования А и сопряженного оператора math в базисе math
(1) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0% \end{array}% \right) ,\ \ \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{2}{3} & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{4}{3} & 0% \end{array}% \right)
(2) \frac{1}{2}\left( \begin{array}{ccc} -3 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 3% \end{array}% \right) ,\ \ \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0% \end{array}% \right) ,\ \ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0% \end{array}% \right)
Какие квадратные формы, из ниже перечисленных, будут иметь перестановочные формы матрицы?
(1) x% _{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{4}+2x_{2}x_{3}+4x_{2}x_{4}+2x_{3}x_{4}
(2) 2x% _{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2x_{4}^{2}-2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}-2x_{1}x_{4}-2x_{2}x_{3}+2x_{2}x_{4}-2x_{3}x_{4}
(3) math
Какие из приведенных коэффициентов доказывают линейную зависимость (независимость) векторов \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\4 \\3 \\0 \\\end{array} \right)
(1) 2, -1, 2, 2, 0
(2) 2, 1, 1, 0, -1
(3) 1, 2, -2, 1, 0
(4) 1, 1/2, 1/2, 0, -1/2
(5) 1/2, 1, -1/2, 0, 1
(6) 1, -1/2, 1, 0, -1/2
Определить, является ли линейным заданное подпространство для указанного пространства?
(1) Линейное пространство определено как всевозможные системы действительных чисел х=(х1,х2,х3). Сложение и умножение на число определены как x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) ax=(ax1,ax2,ax3). Подпространство определено как z=(z1,0,z3)
(2) Линейное пространство определено как всевозможные многочлены не выше пятой степени. Подпространство - многочлены вида a0t4+a1t2+a3
(3) Линейное пространство определено, как множество геометрических векторов на плоскости. Подпространство - множество векторов с началом в начале координат и лежащих в первой четверти
Найти собственные числа матрицы\left( \begin{array}{cc} 3 & 1\\ 2 & 4\\ \end{array} \right)
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 5
(6) 6
Какие подпространства, из перечисленных ниже, не являются инвариантными подпространствами для оператора дифференцирования в пространстве math?
(1) math
(2) math
(3) math
Доказательство, какой теоремы приведено ниже: Пусть math и math. По определению math, поэтому \left\Vert a\perp b\right\Vert ^{2}=(a+b,a+b)=\left\Vert a\right\Vert ^{2}+\left\Vert b\right\Vert ^{2}
(1) если math - ортонормированный базис пространства V и math, то math
(2) если w и math- ортогональные проекции вектора math на подпространства W и math, то math
(3) если math - ортогональная проекция вектора math на подпространство W и math, то \left\Vert v-w_{1}\right\Vert ^{2}=\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}+\left\Vert w-w_{1}\right\Vert ^{2}
Какой биортогональный базис будет иметь базис пространства math: e_{1}=(1,1,1,1)\\ e_{2}=(0,1,1,1)\\ e_{3}=(0,0,1,1)\\ e_{4}=(0,0,0,1)
(1) f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,\frac{1}{2},0,0),\ f_{3}=(0,0,\frac{1}{3},0),\ f_{4}=(0,0,0,\frac{1}{4})
(2) f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,1,0,0),\ f_{3}=(-1,-2,1,-3),\ f_{4}=(0,0,0,1)
(3) f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(-1,1,0,0),\ f_{3}=(0,-1,1,0),\ f_{4}=(0,0,-1,1)
Какой квадратный корень будет иметь матрица \left( \begin{array}{ccc} 24 & 6 & -12 \\ 6 & 33 & 6 \\ -12 & 6 & 24% \end{array}% \right)
(1) \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -1 & 3% \end{array}% \right)
(2) \frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4% \end{array}% \right)
(3) \frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 14 & 2 & -4 \\ 2 & 17 & 2 \\ -4 & 2 & 14% \end{array}% \right)
Вырожденной квадратичной формой называется:
(1) невырожденная матрица math
(2) вырожденная матрица math
(3) симметричная матрица math, составленная из коэффициентов квадратичной формы
Вычислить значение 2C-3АВ, если А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2\\ -2 & 4\\ 3 & 0\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & -2\\ 2 & -1 & 4\\ \end{array} \right) С=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & -1\\ 4 & 0 & 2\\ \end{array} \right)
(1) \left( \begin{array}{ccc} 19 & 4 & -16\\ -2 & 24 & 62\\ -15 & 4 & 2\\ \end{array} \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} -19 & 4 & 16\\ 2 & 24 & -62\\ -15 & 4 & 22\\ \end{array} \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} -19 & 4 & -16\\ -2 & 24 & -62\\ -19 & -18 & 22\\ \end{array} \right)
(4) \left( \begin{array}{ccc} -19 & 4 & 16\\ -2 & 24 & 62\\ 15 & 4 & -22\\ \end{array} \right)
(5) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 4 & -16\\ -2 & 3 & -62\\ -19 & 4 & -22\\ \end{array} \right)
(6) В данном случае произвести расчет нельзя, матрицы не согласованы по числу строк и столбцов
Линейное пространство определено как всевозможные системы действительных чисел х=(х1,х2,х3). Сложение и умножение на число определены как x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) ax=(ax1,ax2,ax3). R1 - множество элементов вида z=(0,0,z2) R2 - множество элементов вида z=(z1,0,0) Найти R3=R1∩R2 и R4=R1+R2
(1) R3 - множество элементов вида z=(0,0,z1)
(2) R3 - множество элементов вида z=(z2,0,0)
(3) R3 - пустое
(4) R3=(0,0,0)
(5) R4 - все пространство
(6) R4- множество элементов вида z=(z2,0,z1)
Какие из векторов являются собственными для характеристического числа =4 матрицы \left( \begin{array}{cc} 1 \ -3 \ 3\\ 3 \ -5 \ 3\\ 6 \ -6 \ 4\\ \end{array} \right)
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Определите, какие подпространства в math и math, инвариантные относительно оператора math:
(1) math
(2) линейная оболочка любого множества одночленов степени не выше math
(3) U=\left\langle \left( 1,\ 1,\ 0\right) ,\ \left( 1,\ 0,\ -1\right) \right\rangle
(4) R\left[ x\right] _{k},\ \left( k=1,...,n\right) ,\ \ C\left[ x\right] _{m}\ \ \ (m=1,...,n)
Как будет выглядеть матрица X в уравнении \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2% \end{array}% \right) X\left( \begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 5 & -3% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 3 & -1% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{cc} 16 & 14 \\ -34 & -18% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cc} 12 & 8 \\ 45 & 6% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cc} 24 & 13 \\ -34 & -18% \end{array}% \right)
Какой угол будет между векторами math, math?
(1) math
(2) math
(3) math
Квадратный корень \frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4% \end{array}% \right) будет иметь матрица:
(1) \left( \begin{array}{ccc} 24 & 6 & -12 \\ 6 & 33 & 6 \\ -12 & 6 & 24% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2% \end{array}% \right)
Определить math, если R=\left\{ \left( \begin{array}{c} 1\\1\\2\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\2\\3\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\0\\1\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0\\1\\1\\\end{array} \right) \right\}
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
(5) 4
Найти базис B и размерность подпространства L решений линейной однородной системы уравнений \left\{ \begin{array}{r} x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ 3x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ 3x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}
(1) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \}
(2) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
(3) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
(4) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
(5) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
(6) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \}
Пусть А - матрица 2х2 имеет два различных собственных числа и А2=-А, то эти числа равны
(1) -2
(2) -1
(3) 0
(4) 1
(5) 2
Какие имеет собственные векторы и значения оператор math в пространстве math
(1) math
(2) одночлены
(3) math
Какая матрица, является обратной матрице \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & \varepsilon & \varepsilon ^{2} & ... & \varepsilon ^{n-1} \\ 1 & \varepsilon ^{2} & \varepsilon ^{4} & ... & \varepsilon ^{2n-2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & \varepsilon ^{n-1} & \varepsilon ^{2n-2} & ... & \varepsilon ^{(n-1)^{2}}% \end{array}% \right) где math
(1) \left( \begin{array}{ccccc} n & n-1 & n-2 & ... & 1 \\ n-1 & n-1 & n-2 & ... & 1 \\ n-2 & n-2 & n-2 & ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1% \end{array}% \right)
(2) \frac{1}{n+1}\left( \begin{array}{ccccc} 1\cdot n & 1\cdot (n-1) & 1\cdot (n-2) & ... & 1\cdot 1 \\ 1\cdot (n-1) & 2\cdot (n-1) & 2\cdot (n-2) & ... & 2\cdot 1 \\ 1\cdot (n-2) & 2\cdot (n-2) & 3\cdot (n-2) & ... & 3\cdot 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1\cdot 1 & 2\cdot 1 & 3\cdot 1 & ... & n\cdot 1% \end{array}% \right)
(3) \frac{1}{n}\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & \varepsilon ^{-1} & \varepsilon ^{-2} & ... & \varepsilon ^{-n+1} \\ 1 & \varepsilon ^{-2} & \varepsilon ^{-4} & ... & \varepsilon ^{-2n+2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & \varepsilon ^{-n+1} & \varepsilon ^{-2n+2} & ... & \varepsilon ^{-(n-1)^{2}}% \end{array}% \right)
Какие будут длины сторон и внутренние углы треугольников, вершины которых заданы своими координатами math?
(1) math math
(2) math math
(3) math math
При возведении матрицы \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 9 & 7 \\ 2 & 5 & 3 & 7% \end{array}% \right) в степень 3, получиться матрица:
(1) \left( \begin{array}{cccc} 30 & 40 & 50 & 60 \\ 40 & 54 & 68 & 82 \\ 50 & 68 & 86 & 104 \\ 60 & 82 & 104 & 126% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{cccc} 8 & 1 & 27 & 504 \\ 0 & 8 & 64 & 1 \\ 27 & 8 & 729 & 349 \\ 8 & 125 & 27 & 349% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{cccc} 429 & 721 & 1118 & 1367 \\ 243 & 327 & 644 & 717 \\ 727 & 1095 & 1866 & 2235 \\ 458 & 736 & 1232 & 1424% \end{array}% \right)
Какое уравнение поверхностей 2-го порядка будет иметь канонический вид y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}-y_{4}^{2}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1% \end{array}% \right) +\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4}% \end{array}% \right)
(1) math
(2) math
(3) math
Найти координаты вектора Х=\left( \begin{array}{c} 2\\1\\2\\\end{array} \right) в базисе R=\left\{ \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0\\1\\1\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\0\\1\\\end{array} \right) \right\}
(1) 0,5 0,5 0,5
(2) 1,5 0,5 0,5
(3) 0,5 1,5 0,5
(4) 0,5 0,5 1,5
(5) 1,5 1,5 0,5
(6) 1,5 0,5 1,5
Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений \left\{ \begin{array}{r} 12x_1+9x_2+3x_3+10x_4=13\\ 4x_1+3x_2+x_3+2x_4=3\\ 8x_1+6x_2+2x_3+5x_4=7\\ \end{array}
(1) общее решение х3=-4х1-3х2+1 х4=1
(2) общее решение х3=(х1-9х2-2)/11 х4=(-5х1+х2+10)/11
(3) общее решение х3=-11/8х4 х1=2/3х2+1/24х4-1/3
(4) частное решение (-1,0,1,0)
(5) частное решение (1,-1,0,1)
(6) частное решение (1,0,1,0)
Найти производную от det(A) по х, если А=\left( \begin{array}{ccc} 1 & x & x^2\\ x^2 & 1 & x\\ x & x^2 & 1\\ \end{array} \right)
(1) x5-2x2
(2) 6x2(x3-1)
(3) x3(x2-2)
(4) 6x2(x3+1)
(5) 6x5+6x2
(6) 6x5-6x2
Подпространство math линейного пространства math называется инвариантным относительно оператора math, действующего в пространстве math, если:
(1) math
(2) math
(3) для любого math
Чему будет равен ранг матрицы \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 14 & 32 \\ 4 & 5 & 6 & 32 & 77% \end{array}% \right)
(1) 1
(2) 2
(3) 3
Какой будет угол между плоскостями math и math, где a_{0}=(3,1,0,1),\\ a_{1}=(1,0,0,0),\\ a_{2}=(0,1,0,0) b_{0}=(2,1,1,3),\ b_{1}=(1,1,1,1),\ b_{2}=(1,-1,1,-1)?
(1) math
(2) math
(3) math
Какие собственные значения будет иметь матрица A=$\left( \begin{array}{ccc} 11 & -6 & 2 \\ -6 & 10 & -4 \\ 2 & -4 & 6% \end{array}% \right)
(1) math
(2) math
(3) math
Какая квадратичная форма, из ниже перечисленных, будет иметь вид 7x_{1}^{^{\prime }2}+4x_{2}^{^{\prime }2}+x_{3}^{^{\prime }3},\ \ x_{1}^{^{\prime }}=\frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}-\frac{2}{3}x_{3},\ \ x_{2}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}+\frac{1}{3}x_{2}+\frac{2}{3}x_{3},\ \ x_{3}^{^{\prime }}=-\frac{2}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}+\frac{1}{3}x_{3}
(1) math
(2) math
(3) math
Выберите верные утверждения:
(1) для любой матрицы А найдется такая матрица I, что AI=A, IA=A, называемая единичной
(2) из линейно зависимой системы векторов всегда можно выбрать несколько линейно независимых
(3) существуют такие А и B, что rank (AB)=rank (BA)
(4) всегда rank A=rank (ATA)
(5) всегда rank(αA)=rank A
Найти общее решение в зависимости от параметра \left\{ \begin{array}{r} 2x_1+5x_2+x_3+3x_4=2\\ 4x_1+6x_2+3x_3+5x_4=4\\ 4x_1+14x_2+x_3+7x_4=4\\ 2x_1-3x_2+3x_3+\lambda x_4=7\\ \end{array}
(1) math
(2) math
(3) math
Выбрать верные утверждения
(1) не существует матрицы подобной самой себе
(2) собственные вектора матриц А и A-1 одинаковы
(3) если A такая, что A2+2A+I=0 то A-невырожденная
Если math, то math Приведенное выше доказательство, доказывает, что:
(1) если оператор math имеет собственное значение math, то одно из чисел math и math является собственным значением оператора А
(2) в пространстве math линейный оператор math имеет множество собственных значений math
(3) если оператор math невырожденный, то операторы math и math имеют одни и те же собственные векторы
Какая система линейных уравнений, из ниже перечисленных, не имеет решений?
(1) 2x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}+x_{5}=1\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}-2x_{5}=0$\\ 3x_{1}+3x_{2}-3x_{3}-3x_{4}+4x_{5}=2\\ 4x_{1}+5x_{2}-5x_{3}-5x_{4}+7x_{5}=3
(2) 3x_{1}+x_{2}-2x_{3}+x_{4}-x_{5}=1\\ 2x_{1}-x_{2}+7x_{3}-3x_{4}+5x_{5}=2\\ x_{1}+3x_{2}-2x_{3}+5x_{4}-7x_{5}=3\\ 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=3
(3) x_{1}+3x_{2}+5x_{3}-4x_{4}=1\\ x_{1}+3x_{2}+2x_{3}-2x_{4}+x_{5}=-1\\ x_{1}-2x_{2}+x_{3}-x_{4}-x_{5}=3\\ x_{1}-4x_{2}+x_{3}+x_{4}-x_{5}=3\\ x_{1}+2x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}=-1
Линейное преобразование math в базисе math имеет матрицу \left( \begin{array}{ccc} 1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 15 \\ 1 & -25 & 22% \end{array}% \right) Как будет выглядеть матрица в базисе math?
(1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & -2% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & -3 & 1% \end{array}% \right)
Какой квадратный корень будет иметь матрица A=\left( \begin{array}{ccc} 9 & 5 & 9 \\ 5 & 10 & 3 \\ 9 & 3 & 14% \end{array}% \right)
(1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 1% \end{array}% \right)
(2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 2 \\ -1 & -3 & 0 \\ 3 & -2 & 1% \end{array}% \right)
(3) \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -1% \end{array}% \right)
Какой канонический вид будут иметь уравнения поверхностей второго порядка math?
(1) 3y_{1}^{2}+4y_{2}^{2}+8\sqrt{6}y_{3}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
(2) 4y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}-8=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1% \end{array}% \right) +\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
(3) 2y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}+\frac{1}{2}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right)
Примерами линейного пространства являются
(1) все непрерывные на отрезке функции
(2) все разрывные на отрезке функции
(3) все постоянные на отрезке функции
(4) множество иррациональных чисел
(5) множество положительных чисел
Выбрать варианты, при которых det(A)=det(A).
(1) размерность матрицы равна 1
(2) матрица вырожденная
(3) матрица диагональная
(4) матрица единичная
(5) =0
Матрица math называется:
(1) характеристической для math
(2) собственным вектором матрицы math
(3) собственным значением матрицы math