Главная / Математика / Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения - ответы на тесты Интуит

Правильные ответы выделены зелёным цветом.
Все ответы: Курс содержит основные сведения, которые используются далее в теории уравнений математической физики и непосредственно при решении конкретных задач математики, физики и различных прикладных областей.
Составьте дифференциальное уравнение семейства кривых: math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Вычислите преобразование Лапласа math от постоянной функции math. В ответе укажите его значение при math.
(1) 5
(2) 8
(3) 12
(4) 15
Решите простейшую вариационную задачу для функционала \int\limits_1^9\left[2y'-yy'+x(y')^2\right]dx, \quad y(1)=1, \quad y(9)=11. В ответе введите значение math.
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 9
При каком наименьшем math уравнение вида math, где math - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции math и math?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Найдите решение уравнения math, проходящее через точку math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
Определить тип особой точки линейной невырожденной системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+3y \\ \dot{y} &=&5y-x \end{array} \right..
(1) невырожденный узел
(2) вырожденный узел
(3) седло
(4) центр
(5) фокус
Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{\frac{x}{(x+y)^2}} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{\frac{y}{(x+y)^2}} \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math и math. В ответе укажите значение math.
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
Найти матрицу math линейной однородной системы \left( \begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array} \right) = A(t) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), зная её фундаментальную матрицу \Phi(t)=\left( \begin{array}{cc} e^t & 0 \\ te^t & e^t \end{array} \right). В ответе укажите значение суммы всех элементов найденной матрицы при math.
(1) 2
(2) 3
(3) 5
(4) 10
Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций math и math. Являются эти функции линейно зависимыми?
(1) -1 да
(2) -1 нет
(3) 1 да
(4) 1 нет
(5) 0 да
(6) 0 нет
Решите задачу Коши: y''=-{y'}^2, \quad y(1)=y'(1)=1 В ответе укажите значение math.
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Решите задачу Коши math, math. В ответе укажите значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&10x-6y \\ \dot{y} &=&18x-11y \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальному условию math. В ответе укажите его значение при math
(1) 10
(2) 20
(3) 30
(4) 40
Найдите изображение math оригинала math. В ответе укажите его значение при math.
(1) 60
(2) 70
(3) 80
(4) 90
Решите простейшую вариационную задачу для функционала \int\limits_1^4\left[\frac{2yy'}{x}-\frac{3y^2}{x^2}-(y')^2-\frac{y}{x}\right]dx, \quad y(1)=y(4)=4.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
При каком наименьшем math уравнение вида math, где math - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции math и math?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Найдите решение уравнения math, проходящее через точку math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите все значения вещественного параметра math, при которых особая точка системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&ax+ay \\ \dot{y} &=&a^2y \end{array} \right. является седлом.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-y - xy^2 \\ \dot{y} &=&x+x^2y \end{array} \right. с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Вычислите значение при math определителя Вронского двух вектор-функций \left( \begin{array}{c} \sh{t} \\ \ch{t} \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} \ch{t} \\ \sh{t} \end{array} \right). Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?
(1) -1, да
(2) -1, нет
(3) 1, да
(4) 1, нет
Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций math, math и math. Являются эти функции линейно зависимыми?
(1) -1 да
(2) -1 нет
(3) 1 да
(4) 1 нет
(5) 0 да
(6) 0 нет
Решите задачу Коши: y''=\frac{y'}{x}\ln{\frac{y'}{x}}+\frac{y'}{x}, \quad y(1)=3, \quad y'(1)=1 В ответе укажите значение math
(1) 3
(2) 5
(3) 7
(4) 9
Решите задачу Коши math, math, math, math. В ответе укажите значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+y-z \\ \dot{y} &=&x-y+z \\ \dot{z} &=&x-3y+3z \\ \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math, math, math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальному условию math. В ответе укажите его значение при math
(1) -1
(2) 1
(3) -10
(4) 10
Вычислите значение при math преобразование Лапласа от оригинала math.
(1) 10
(2) 20
(3) 30
(4) 40
Найдите все значения вещественного параметра $a$, при которых на допустимой экстремали достигается минимум \int\limits_0^1\left[y-2y'+a(y')^2\right]dx, \quad y(0)=0, \quad y(1)=1.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите производную по параметру math при math от решения math задачи Коши: y'=y+\lambda(x^2+y^2), \quad y(0)=0 при math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения xy'=y \left (1+\ln{\frac{y}{x}}\right), удовлетворяющее начальному условию math. В ответе укажите его значение math.
(1) 12
(2) 18
(3) 24
(4) 30
Найдите все значения вещественного параметра math, при которых особая точка системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&ax+y \\ \dot{y} &=&ay-(2a+1)x \end{array} \right. асимптотически устойчива.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&xy-x^2 \\ \dot{y} &=&y^2\\ \dot{z} &=&2yz+z^2 \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math, math и math. В ответе укажите значение math при math.
(1) 5
(2) 10
(3) 15
(4) 20
Вычислите значение при math определителя Вронского двух вектор-функций \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} -t \\ t \end{array} \right). Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?
(1) 1, да
(2) 1, нет
(3) 0, да
(4) 0, нет
Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение вида y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0 наименьшего порядка math, которое имеет следующие частные решения: 1, \quad \cos x. В ответе укажите math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите задачу Коши: yy''-2{y'}^2=0, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=1/10 В ответе укажите значение math
(1) 2
(2) 5
(3) 8
(4) 10
Решите задачу Коши math, math, math. В ответе укажите значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-3x+y-2z \\ \dot{y} &=&4x+y \\ \dot{z} &=&4x+z \\ \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math, math, math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальному условию math. В ответе укажите его предел при math
(1) -2
(2) 2
(3) -4
(4) 4
Восстановите оригинал math по изображению \widetilde{f}(p)=\frac{24}{p^4}. В ответе укажите его значение math.
(1) 16
(2) 24
(3) 32
(4) 40
Решите вариационную задачу со свободным концом \int\limits_1^2\left[x^2(y')^2+6y^2+x^3y\right]dx, \quad y(1)=11. В ответе укажите значение math
(1) 2
(2) 3
(3) 6
(4) 11
Найдите производную по начальному условию math при math от решения math задачи Коши: y'=2y+x^2y^2-y^3, \quad y(0)=y_0 при math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, проходящее через точку math. В какой точке оно пересекает окружность с центром в начале координат и радиусом math?
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите все значения вещественного параметра math, при которых особая точка системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&2ax+y \\ \dot{y} &=&ay-2ax \end{array} \right. устойчива.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&xy \\ \dot{y} &=&y\\ \dot{z} &=&xe^{-y}+z \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math, math и math. В ответе укажите значение math.
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 8
Найти значение при math определителя фундаментальной матрицы системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&(1+t)^{-1}x+(1+t^2)y \\ \dot{y} &=&-(1+t^2)x+(1+t)^{-1}y \end{array} \right., если его значение при math равно math.
(1) 2
(2) 3
(3) 6
(4) 9
Известны два частных решения линейного неоднородного уравнения первого порядка: math и math. Найдите решение с начальным условием math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите задачу Коши: 2(y^2+y)y''-(y^2+y+1){y'}^2+y^3=0, \quad y(2)=1, \quad y'(2)=-1 В ответе укажите значение math
(1) 2
(2) 4
(3) 6
(4) 8
Решите уравнение Эйлера math при math. Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math, math. В ответе укажите его значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-5x-y \\ \dot{y} &=&x-3y-36e^{2t} \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите задачу Коши math, math. В ответе укажите значение её решения при math
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Решите операционным методом задачу Коши math, math при math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите вариационную задачу без ограничений \int\limits_1^{e}\left[x(y')^2+\frac{y^2}{x}+ \frac{2y\ln{x}}{x}\right]dx. В ответе укажите значение math.
(1) -12
(2) -6
(3) 6
(4) 12
Методом введения параметра найдите решение уравнения math с начальными условиями math, math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) -4
(2) -3
(3) 3
(4) 4
Решите задачу Коши math, math. В ответе укажите значение её решения при math
(1) 0
(2) 2
(3) 5
(4) 7
У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&e^{2x+2y}+x \\ \dot{y} &=&\arccos{(x-x^3)}-\pi/2 \end{array} \right. найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений \frac{dx}{y-x}=\frac{dy}{x+y+z}=\frac{dz}{x-y}. В ответе укажите абсциссу точки пересечения плоскости math и решения, проходящего через точку math.
(1) 1
(2) 3
(3) 5
(4) 7
Найти значение при math определителя фундаментальной матрицы системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-(1+t^2)x+(1+t)^{-1}y \\ \dot{y} &=&(1+t)^{-1}x+(1+t^2)y \end{array} \right., если его значение при math равно math.
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши: (2x+1)y''+(4x-2)y'-8y=4(2x+1)^3, \quad y(0)=-1, \quad y'(0)=0. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите его значение math при math
(1) 2
(2) 4
(3) 6
(4) 8
Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}y'+a_ny=0 наименьшего порядка math, которое имеет частное решение math. В ответе укажите сумму math
(1) -1
(2) 0
(3) 1
(4) 2
С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&2x+y \\ \dot{y} &=&x+2y \end{array} \right.. В ответе укажите значение math при math для решения, удовлетворяющего начальным условиям math, math.
(1) 0
(2) 2
(3) 5
(4) 6
Найдите траекторию, проходящую через точку math и ортогональную семейству кривых math. Укажите значение math, при котором она пересекает прямую math
(1) 0
(2) 2
(3) 4
(4) 6
Решите операционным методом задачу Коши math, math, math при math. В ответе укажите значение math.
(1) -1
(2) 0
(3) 1
(4) 2
Исследовать функционал на экстремум: \int\limits_1^2\left[12y_1^2+y_2^2+x^2(y_1')^2+(y_2')^2\right]dx, \quad y_1(1)=1, \quad y_2(1)=e, \quad y_1(2)=8, \quad y_2(2)=e^2. В ответе введите значение math.
(1) 12
(2) 15
(3) 45
(4) 60
Найдите особое решение уравнения math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) 5
(2) 6
(3) 9
(4) 10
Найдите значение math функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению math и начальному условию math
(1) -3
(2) -1
(3) 1
(4) 3
У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&5x-8y+3 \\ \dot{y} &=&\ln{\frac{x}{y}} \end{array} \right. найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите функцию math, удовлетворяющую дифференциальному уравнению y\frac{\partial u}{\partial x}-x\frac{\partial u}{\partial y}=0 и начальному условию u=|x| \quad \textrm{при} \quad y=1. В ответе укажите значение math.
(1) 10
(2) 15
(3) 18
(4) 20
Система \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{\frac{1}{1+t^2}\left(tx+y\right)} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{\frac{1}{1+t^2}\left(-x+ty\right)} \end{array} \right., имеет решение \left\{ \begin{array}{ccl} x &=&t \\ y &=&1 \end{array} \right.. Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) -12
(2) -9
(3) -6
(4) -3
С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши: x(x+1)^2y''+2(x+1)y'-2y=(x+1)^3e^x, \quad y(1)=2e, \quad y'(1)=2e^2+e. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите его значение math
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Найдите решение краевой задачи: y''-y'=2e^{2x}, \quad y'(0)=2, \quad y(1)=e^2 В ответе введите его значение при math
(1) 2
(2) 4
(3) 6
(4) 8
С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+y \\ \dot{y} &=&-x-y \end{array} \right.. В ответе укажите значение math при math для решения, удовлетворяющего начальным условиям math, math.
(1) -3
(2) -1
(3) 1
(4) 3
В баке находится 100 л раствора, содержащего 1 кг соли. В бак непрерывно подаётся вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько граммов соли останется в баке через час? (Ответ округлить до целого числа.)
(1) 20
(2) 50
(3) 100
(4) 150
Решите операционным методом задачу Коши \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+y \\ \dot{y} &=&-2x-y \end{array} \right., \quad x(0)=5, \quad y(0)=-5 при math. В ответе укажите значение math.
(1) -7
(2) -5
(3) -2
(4) 5
Решите изопериметрическую вариационную задачу \int\limits_0^2(y')^2\,dx, \quad y(0)=0, \quad y(2)=-11, \quad \int\limits_0^2xy\,dx=-4. В ответе укажите значение math.
(1) -4
(2) 0
(3) 2
(4) 4
Методом введения параметра найдите решение уравнения math, проходящее через точку math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) -6
(2) -3
(3) 0
(4) 3
Найдите общее решение уравнения math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Для уравнения \ddot{x}+x^3=e^{-4\dot{x}/x} найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите функцию math, удовлетворяющую дифференциальному уравнению. \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+2\frac{\partial u}{\partial z}=0 и начальному условию u=yz \quad \textrm{при} \quad x=1. В ответе укажите значение math.
(1) 123
(2) 132
(3) 213
(4) 231
Решите неоднородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-4x-2y+\displaystyle{\frac{2}{e^t-1}} \\ \dot{y} &=&6x+3y-\displaystyle{\frac{3}{e^t-1}} \end{array} \right. методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите неоднородное уравнение y''+y=\frac{4}{\cos^2{x}} методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math, math. В ответе укажите значение math.
(1) -4
(2) 4
(3) 6
(4) 8
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите значение math
(1) 2
(2) 4
(3) 6
(4) 8
Найдите решение краевой задачи: x^2y''+2xy'-12y=0, \quad y(1)=12, \quad y=O(1) \textrm{ при } x \to +\infty В ответе введите его значение при math
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&z \\ \dot{y} &=&y \\ \dot{z} &=&0 \\ \end{array} \right.. В ответе укажите значение math при math для решения, удовлетворяющего начальным условиям math, math, math.
(1) 3
(2) 5
(3) 7
(4) 9
За 30 дней распадается 50% радиоактивного вещества. За сколько дней распадётся 99% его первоначального количества? (Скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна его оставшемуся количеству.)
(1) 60
(2) 120
(3) 200
(4) 240
Решите операционным методом задачу Коши \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x-2y+t \\ \dot{y} &=&x-y+2 \end{array} \right., \quad x(0)= y(0)=0 при math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите изопериметрическую вариационную задачу \int\limits_0^\pi\left[y^2+2y\cos{x}+(y')^2\right]dx, \quad y(0)=2, \quad y(\pi)=-2, \quad \int\limits_0^\pi y\cos{x}\,dx=\pi. В ответе укажите значение math.
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
Найдите особое решение уравнения \frac{y}{xy'}+\ln{y'}=1. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) 3
(2) 6
(3) 8
(4) 9
Найдите общее решение уравнения math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Для уравнения \ddot{x}+\sqrt[5]{5x+5\dot{x}}+\cos{\dot{x}}=0 найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите функцию math, удовлетворяющую дифференциальному уравнению x^2\frac{\partial u}{\partial x}+(2z-e^y)\frac{\partial u}{\partial y}+z^2\frac{\partial u}{\partial z}=0 и начальному условию u=\frac{(x-z)^2}{x^2} \quad \textrm{при} \quad y=\ln{x}. В ответе укажите значение math при math, math и math.
(1) 68
(2) 69
(3) 96
(4) 86
Решите неоднородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3x-2y \\ \dot{y} &=&2x-y+15e^t\sqrt{t} \end{array} \right. методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) -8
(2) -2
(3) 3
(4) 15
Решите неоднородное уравнение \displaystyle{y''-y'=-\frac{x+1}{x^2}} методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите его значение math
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
Найдите наименьшее вещественное значение math, при котором краевая задача y''+ ay =0, \quad y(0)=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 имеет ненулевое решение.
(1) 0
(2) 2
(3) 4
(4) 6
Найдите math, если math и A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right).
(1) 16
(2) 24
(3) 32
(4) 40
Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения math на интервале длины math?
(1) 7
(2) 14
(3) 20
(4) 25
Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения math на отрезке длины math?
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения math на отрезке длины 100?
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
Вещественная функция math определена, непрерывна и положительна на всей числовой прямой. Какое наибольшее число нулей может иметь на всей числовой прямой нетривиальное решение уравнения math?
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
Составьте дифференциальное уравнение семейства кривых: math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Вычислите преобразование Лапласа math от функции math. В ответе укажите его значение math.
(1) 14
(2) 24
(3) 34
(4) 44
Решите простейшую вариационную задачу для функционала \int\limits_0^\pi\left[(y'+y)^2+2y\sin{x}\right]dx, \quad y(0)=0, \quad y(\pi)=1.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
При каком наименьшем math уравнение вида math, где math - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции math и math?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Найдите решение уравнения math, проходящее через точку math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) -9
(2) -6
(3) -3
(4) 5
Определить тип особой точки линейной невырожденной системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x-5y \\ \dot{y} &=&2x-y \end{array} \right..
(1) невырожденный узел
(2) вырожденный узел
(3) седло
(4) центр
(5) фокус
Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x^2y \\ \dot{y} &=&xy^2 \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math и math. В ответе укажите значение math.
(1) 1
(2) 6
(3) 12
(4) 25
Найти матрицу math линейной однородной системы \left( \begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array} \right) = A(t) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), зная её фундаментальную матрицу \Phi(t)=\left( \begin{array}{cc} e^t & 0 \\ te^t & e^{2t} \end{array} \right). В ответе укажите значение суммы всех элементов найденной матрицы при math
(1) -10
(2) -6
(3) 6
(4) 10
Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций math, math и math. Являются эти функции линейно зависимыми?
(1) -1 да
(2) -1 нет
(3) 1 да
(4) 1 нет
(5) 0 да
(6) 0 нет
Решите задачу Коши: y''(e^x+1)+y'=0, \quad y(-1)=-1-e, \quad y'(-1)=1+e В ответе укажите значение math
(1) -2
(2) -1
(3) 0
(4) 1
Решите задачу Коши math, math. В ответе укажите значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-12x-8y \\ \dot{y} &=&20x+12y \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) -5
(2) 0
(3) 5
(4) 12
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальному условию math. В ответе укажите его значение при math
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Вычислите значение при math преобразование Лапласа от оригинала math.
(1) 18
(2) 24
(3) 36
(4) 42
Решите простейшую вариационную задачу для функционала \int\limits_{-1}^1 e^x \left[(y')^2+6y^2\right]dx, \quad y(-1)=0, \quad y(1)=e^7-e^{-3}.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
При каком наименьшем math уравнение вида math, где math - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции math и math?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Найдите решение уравнения math, проходящее через точку math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите значение вещественного параметра math, при котором особая точка системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&ax+y \\ \dot{y} &=&ay-(2a+1)x \end{array} \right. является центром.
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x^3+xy^2 \\ \dot{y} &=&-x^2y-y^3 \end{array} \right. с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Вычислите значение при math определителя Вронского двух вектор-функций \left( \begin{array}{c} e^t\cos{t} \\ e^t\sin{t} \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} e^t\sin{t} \\ e^t\cos{t} \end{array} \right). Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?
(1) 2, да
(2) 2, нет
(3) 4, да
(4) 4, нет
Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций math и math. Являются эти функции линейно зависимыми?
(1) -1 да
(2) -1 нет
(3) 1 да
(4) 1 нет
(5) 0 да
(6) 0 нет
Решите задачу Коши: x^2y''={y'}^2, \quad y(1)=y'(1)=1 В ответе укажите значение math
(1) 3
(2) 5
(3) 7
(4) 9
Решите задачу Коши math, math, math, math, math. В ответе укажите значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+2y+3z \\ \dot{y} &=&2x+4y+6z \\ \dot{z} &=&3x+6y+9z \\ \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальному условию math. В ответе укажите его значение при math
(1) -1
(2) 1
(3) -10
(4) 10
Вычислите значение при math преобразование Лапласа от оригинала math.
(1) 7
(2) 14
(3) 21
(4) 28
Найдите все значения вещественного параметра math, при которых на допустимой экстремали достигается минимум \int\limits_0^1\left[x+x^2+y^2+a(y')^2\right]dx, \quad y(0)=0, \quad y(1)=1.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите производную по параметру math при math от решения math задачи Коши: y'=-y+\lambda(x+y^2), \quad y(0)=0 при math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения y'=-\frac{y}{x+2y}, проходящее через точку math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) 7
(2) 13
(3) 19
(4) 21
Найдите все значения вещественного параметра math, при которых особая точка системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&ax+y \\ \dot{y} &=&ay-(2a+1)x \end{array} \right. устойчива.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-x^2 \\ \dot{y} &=&xy-2z^2\\ \dot{z} &=&xz \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math, math и math. В ответе укажите значение math.
(1) 0
(2) 1
(3) 3
(4) 5
Вычислите значение при math определителя Вронского трёх вектор-функций \left( \begin{array}{c} e^t \\ e^t \\ e^t \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} \sh{t} \\ \ch{t} \\ \sh{t} \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} \ch{t} \\ \sh{t} \\ \ch{t} \end{array} \right). Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?
(1) 1, да
(2) 1, нет
(3) 0, да
(4) 0, нет
Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение вида y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0 наименьшего порядка math, которое имеет следующие частные решения: 3x, \quad x-2, \quad e^x+1. В ответе укажите math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите задачу Коши: y''={y'}^2+(1-y)y', \quad y(1)=y'(1)=1 В ответе укажите значение y(-\infty)=\lim_{x\to - \infty}{y(x)}
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
Решите задачу Коши math, math, math. В ответе укажите значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&4x-y-2z \\ \dot{y} &=&2x+y-3z \\ \dot{z} &=&2x-y+z \\ \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math, math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите абсциссу точки пересечения прямой math и решения уравнения math, проходящего через точку math
(1) -1
(2) 0
(3) 1
(4) 2
Восстановите оригинал math по изображению \widetilde{f}(p)=\frac{60}{p^2-1}. В ответе укажите его значение math.
(1) 30
(2) 45
(3) 60
(4) 75
Решите вариационную задачу со свободным концом \int\limits_1^2\left[x^2(y')^2+12y^2\right]dx, \quad y(1)=97. В ответе укажите значение math.
(1) 2
(2) 12
(3) 14
(4) 97
Найдите производную по начальному условию math при math от решения math задачи Коши: y'=-2y+2x^2y^2+y^3, \quad y(0)=y_0 при math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите общее решение уравнения math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите все значения вещественного параметра math, при которых особая точка системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+(1-a)y \\ \dot{y} &=&(1+a)x-3y \end{array} \right. асимптотически устойчива.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений \frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}=\frac{dz}{z}. В ответе укажите значение координаты math точки пересечения плоскости math и решения, проходящего через точку math.
(1) 0
(2) 1
(3) 3
(4) 4
Два решения math и math системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x\cos{t}-y\sin{t} \\ \dot{y} &=&x\sin{t}+y\cos{t} \end{array} \right., удовлетворяют начальным условиям: \overrightarrow{\varphi}(0)= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), \quad \overrightarrow{\psi}(0)= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right). Найдите их определитель Вронского math. В ответе укажите значение math.
(1) 0
(2) 2
(3) 4
(4) 6
Известны три частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка: math, math и math. Найдите решение с начальным условием math, math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите задачу Коши: yy''=-y^2{y'}^3+{y'}^2, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=3 В ответе укажите значение math
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 7
Решите уравнение Эйлера math при math. Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math, math. В ответе укажите его значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-4x-4y+2e^{2t} \\ \dot{y} &=&6x+6y+2t \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) 1
(5) 0
(6) math
Решите задачу Коши math, math. В ответе укажите значение её решения при math
(1) -25
(2) 25
(3) -2
(4) 2
Решите операционным методом задачу Коши math, math при math. В ответе укажите значение math.
(1) -2
(2) 0
(3) 2
(4) 5
Найдите допустимые экстремали в задаче без ограничений \int\limits_0^{1}\left[2yy'+(y')^2\right]dx. В ответе укажите значение math.
(1) -2
(2) 0
(3) 4
(4) 6
Найдите особое решение уравнения math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) -4
(2) -3
(3) -2
(4) -1
Решите задачу Коши y'=\frac{y}{x}+x, \quad y(1)=10 В ответе укажите значение её решения при math
(1) 2
(2) 10
(3) 20
(4) 22
У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\ln{(1-y)} \\ \dot{y} &=&\sqrt[3]{x-4y}+x-2 \end{array} \right. найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений \frac{dx}{x(y+z)}=\frac{dy}{z(z-y)}=\frac{dz}{y(y-z)}. В ответе укажите абсциссу точки пересечения плоскости math и решения, проходящего через точку math.
(1) 1
(2) 3
(3) 5
(4) 7
Найти значение при math определителя фундаментальной матрицы системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x\tg{t}+y\th{t} \\ \dot{y} &=&x\th{t}+y\tg{t} \end{array} \right., если его значение при math равно math.
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 5
С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши: 2xy''+(4x+1)y'+(2x+1)y=e^{-x}, \quad y(1)=y'(1)=0. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите значение math при math
(1) 18
(2) 36
(3) 54
(4) 72
Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}y'+a_ny=0 наименьшего порядка math, которое имеет частное решение math. В ответе укажите сумму math
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-x+y \\ \dot{y} &=&2x-2y \end{array} \right.. В ответе укажите значение math при math для решения, удовлетворяющего начальным условиям math, math.
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Найдите траекторию, проходящую через точку math и ортогональную семейству кривых math. Укажите значение math, при котором она пересекает прямую math
(1) -6
(2) 6
(3) -90
(4) 90
Решите операционным методом задачу Коши math, math, math при math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Исследовать функционал на экстремум: \int\limits_0^1\left[12(y'')^2-xy\right]dx, \quad y(0)=y'(0)=0, \quad y(2)=\frac{52}{5}, \quad y'(2)=24. В ответе введите значение производной math.
(1) 0
(2) 2
(3) 5
(4) 12
Методом введения параметра найдите решение уравнения math с начальными условиями math, math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) 4
(2) 6
(3) 8
(4) 10
Найдите значение math функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению math и начальному условию math
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\ln{(x^3-6e^y-1)}-y \\ \dot{y} &=&4x-4e^y-4 \end{array} \right. найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите функцию math, удовлетворяющую дифференциальному уравнению \frac{\partial u}{\partial x}+(2e^x-y)\frac{\partial u}{\partial y}=0 и начальному условию u=y \quad \textrm{при} \quad x=0. В ответе укажите значение math.
(1) 2
(2) 5
(3) 7
(4) 9
Система \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&(1-2t)x-2y \\ \dot{y} &=&(2t^2-2t-1)x+(2t-1)y \end{array} \right., имеет решение \left\{ \begin{array}{ccl} x &=&e^{t} \\ y &=&-te^t \end{array} \right.. Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 4
С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши: (2x+3)y''-2y'-\frac{6}{x^2}y=3(2x+3)^2, \quad y(1)=y'(1)=0. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите его значение math
(1) 1
(2) 2
(3) 4
(4) 5
Найдите решение краевой задачи: y''+y'=2, \quad y(0)=0, \quad y(2)=4 В ответе введите его значение при math
(1) 0
(2) 2
(3) 4
(4) 6
С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x-2y \\ \dot{y} &=&x-y \end{array} \right.. В ответе укажите значение math при math для решения, удовлетворяющего начальным условиям math, math.
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
В воздухе комнаты объёмом 200 куб. м содержится 0,15% углекислого газа. Вентилятор подаёт в минуту 20 куб. м воздуха содержащего 0,04% углекислого газа. Через сколько минут количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое? (Ответ округлить до целого числа.)
(1) 15
(2) 20
(3) 24
(4) 32
Решите операционным методом задачу Коши \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-x-2y+2e^{-t} \\ \dot{y} &=&3x+4y+e^{-t} \end{array} \right., \quad x(0)= y(0)=-1 при math. В ответе укажите значение math.
(1) 2
(2) 3
(3) 5
(4) 7
Решите изопериметрическую вариационную задачу \int\limits_0^2\left[2xy+(y')^2\right]dx, \quad y(0)=0, \quad y(2)=6, \quad \int\limits_0^2 xy\,dx=8. В ответе укажите значение math.
(1) 2
(2) 3
(3) 6
(4) 8
Найдите особое решение уравнения math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) -6
(2) -3
(3) 0
(4) 3
Найдите общее решение уравнения math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Для уравнения \ddot{x}+3\dot{x}=\ln{(\dot{x}+x^3)} найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите функцию math, удовлетворяющую дифференциальному уравнению x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+ (x-3y)z^2\frac{\partial u}{\partial z}=0 и начальному условию u=\frac{x^2}{y} \quad \textrm{при} \quad 3yz=1. В ответе укажите значение math.
(1) -1
(2) 0
(3) 1
(4) 2
Решите неоднородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&y+\tg^2{t}-1 \\ \dot{y} &=&-x+\tg{t} \end{array} \right. методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
Решите неоднородное уравнение y''+y=-\ctg^2{x} методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math, math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите его значение math
(1) -10
(2) -1
(3) 1
(4) 10
Найдите решение краевой задачи: x^2y''-6y=0, \quad y=O(1) \textrm{ при } x \to +0, \quad y(2)=72 В ответе введите его значение при math
(1) 6
(2) 9
(3) 36
(4) 72
С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&z \\ \dot{y} &=&x+y \\ \dot{z} &=&z \\ \end{array} \right.. В ответе укажите значение math при math для решения, удовлетворяющего начальным условиям math.
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды из полного бака вытекает за 5 минут. За сколько минут из полного бака вытечет вся вода? (Квадрат скорости вытекания воды из бака пропорционален высоте уровня оставшейся воды над отверстием.)
(1) 10
(2) 12
(3) 15
(4) 17
Решите операционным методом задачу Коши \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&4x+5y+4 \\ \dot{y} &=&-4x-4y+4t \end{array} \right., \quad x(0)= y(0)=3 при math. В ответе укажите значение math.
(1) 3
(2) 4
(3) 5
(4) 6
Найдите допустимые экстремали math изопериметрической задачи \int\limits_0^{1}{\left[2yy'+\left(y'\right)^2\right]} dx, \quad \int\limits_0^{1}{\left[4xy'+yy'\right]} dx =8, \quad y(0)=y(1)=0. В ответе введите значение math
(1) -3
(2) 0
(3) 2
(4) 8
Методом введения параметра найдите решение уравнения 2xy^2y'^2-y^3y'+1=0 с начальными условиями math, math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) 5
(2) 6
(3) 7
(4) 8
Найдите общее решение уравнения math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Для уравнения \ddot{x}=(3\dot{x}-2x)e^{{\dot{x}}^2} найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите функцию math, удовлетворяющую дифференциальному уравнению 2xy\frac{\partial u}{\partial x}+(1-2xz-y^2)\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{y}{x}\frac{\partial u}{\partial z}=0 и начальному условию u=\frac12-y^2 \quad \textrm{при} \quad xz+y^2=1. В ответе укажите значение math при math, math и math.
(1) 42
(2) 43
(3) 44
(4) 45
Решите неоднородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&2x+y-\ln{t} \\ \dot{y} &=&-4x-2y+\ln{t} \end{array} \right. методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите неоднородное уравнение y''-4y=(15-16x^2)\sqrt{x} методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) 32
(2) 64
(3) 128
(4) 256
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите его значение math
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 9
Найдите наименьшее вещественное значение math, при котором краевая задача y''+ ay =1, \quad y(0)=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 не имеет решений.
(1) 0
(2) 2
(3) 4
(4) 6
Найдите math, если math и A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array} \right).
(1) 0
(2) 5
(3) 10
(4) 15
Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения math на отрезке длины math?
(1) 20
(2) 25
(3) 40
(4) 50
Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения math на отрезке длины 100?
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения \ddot{x}-2\dot{x}+\frac{10t^2+1}{t^2+10}x=0 на отрезке длины 100?
(1) 24
(2) 48
(3) 96
(4) 192
Вещественная функция math определена, непрерывна и положительна на всей числовой прямой. Какое наименьшее число нулей может иметь на всей числовой прямой нетривиальное решение уравнения math?
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
Составьте дифференциальное уравнение семейства кривых: math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите изображение math оригинала math. В ответе укажите его значение при math.
(1) 14
(2) 24
(3) 34
(4) 44
Решите простейшую вариационную задачу для функционала \int\limits_1^2\left[x(y')^2+\frac{y^2}{x}\right]dx, \quad y(1)=2, \quad y(2)=\frac52. В ответе введите значение math.
(1) 2
(2) 3
(3) 5
(4) 6
При каком наименьшем math уравнение вида math, где math - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции math и math?
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
Найдите решение уравнения math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Определить тип особой точки линейной невырожденной системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x-5y \\ \dot{y} &=&5x-5y \end{array} \right..
(1) невырожденный узел
(2) вырожденный узел
(3) седло
(4) центр
(5) фокус
Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{\frac{x^2}{y}} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{x} \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math и math. В ответе укажите значение math.
(1) 3
(2) 6
(3) 18
(4) 24
Найдите фундаментальную матрицу math системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+y \\ \dot{y} &=&x+y \end{array} \right., если math (math - единичная матрица). В ответе укажите сумму собственных чисел матрицы math.
(1) 0
(2) 5
(3) 10
(4) 15
Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций math и math. Являются эти функции линейно зависимыми?
(1) -1 да
(2) -1 нет
(3) 1 да
(4) 1 нет
(5) 0 да
(6) 0 нет
Решите задачу Коши: xy''+x{y'}^2+y'=0, \quad y(e)=0, \quad y'(e)=e^{-1} В ответе укажите значение math
(1) -1
(2) 0
(3) 1
(4) 2
Решите задачу Коши math, math. В ответе укажите значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-2x+y \\ \dot{y} &=&-4x+2y \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) -9
(2) 0
(3) 4
(4) 9
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальному условию math. В ответе укажите его значение при math
(1) 10
(2) 51
(3) 81
(4) 101
Вычислите значение при math преобразование Лапласа от оригинала math.
(1) 6
(2) 12
(3) 18
(4) 24
Решите простейшую вариационную задачу для функционала \int\limits_2^4\left[x^2yy'+8x^2y-x^2(y')^2+(x-2)y^2\right]dx, \quad y(2)=0, \quad y(4)=-8. В ответе введите значение math.
(1) -8
(2) -3
(3) 2
(4) 8
При каком наименьшем math уравнение вида math, где math - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции math и math?
(1) 3
(2) 4
(3) 5
(4) 6
Найдите решение уравнения math, проходящее через точку math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x^2y+y^3 \\ \dot{y} &=&-x^3-xy^2 \end{array} \right. с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Вычислите значение при $t=10$ определителя Вронского двух вектор-функций \left( \begin{array}{c} 1 \\ -t \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} -1 \\ t \end{array} \right). Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?
(1) 1, да
(2) 1, нет
(3) 0, да
(4) 0, нет
Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций math, math и math. Являются эти функции линейно зависимыми?
(1) -1 да
(2) -1 нет
(3) 1 да
(4) 1 нет
(5) 0 да
(6) 0 нет
Решите задачу Коши: y'''=2(y''-1)\ctg{x}, \quad y(1)=y'(1)=0, \quad y''(1)=1 В ответе укажите значение math
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Решите задачу Коши math, math, math, math, math. В ответе укажите значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3x-2y+2z \\ \dot{y} &=&2x+z \\ \dot{z} &=&-2x+2y-2z \\ \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальному условию math. В ответе укажите его значение при math
(1) 4
(2) 6
(3) 8
(4) 10
Восстановите оригинал math по изображению \widetilde{f}(p)=\frac{60}{p+2}. В ответе укажите его значение math.
(1) 15
(2) 30
(3) 45
(4) 60
Решите вариационную задачу со свободным концом \int\limits_0^2\left[2xy'+(y')^2\right]dx, \quad y(0)=0. В ответе укажите значение math.
(1) -8
(2) 0
(3) 2
(4) 8
Найдите производную по параметру math при math от решения math задачи Коши: y'=y-y^2+\lambda(x+y^3), \quad y(0)=0 при math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения y'=\frac{2xy}{x^2+y^2}, удовлетворяющее начальному условию math. В ответе укажите его значение math.
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
Найдите все значения вещественного параметра math, при которых особая точка системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&2ax+y \\ \dot{y} &=&ay-2ax \end{array} \right. асимптотически устойчива.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Вычислите значение при math определителя Вронского трёх вектор-функций \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} \sh{t} \\ \ch{t} \\ \sh{t} \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} \ch{t} \\ \sh{t} \\ \ch{t} \end{array} \right). Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?
(1) 1, да
(2) 1, нет
(3) 0, да
(4) 0, нет
Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение вида y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0 наименьшего порядка math, которое имеет следующие частные решения: \sh x, \quad \ch x, \quad e^x. В ответе укажите math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите задачу Коши: 2y^2y''+{y'}^2=4, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=-2 В ответе укажите значение math
(1) -2
(2) 10
(3) -19
(4) 19
Решите задачу Коши math, math, math. В ответе укажите значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&2x-y-z \\ \dot{y} &=&2x-y-2z \\ \dot{z} &=&2z-x+y \\ \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) -1
(2) 0
(3) 1
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите уравнения вертикальных асимптот решения задачи Коши (x^2-1)dy+2xy^2dx=0, \quad y(0)=1
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Восстановите оригинал math по изображению \widetilde{f}(p)=\frac{6p}{p^2+2p+2}. В ответе укажите значение его производной math.
(1) -24
(2) -12
(3) 12
(4) 24
Решите вариационную задачу со свободным концом \int\limits_1^3\left[8yy' \ln{x}-x(y')^2+6xy'\right]dx, \quad y(3)=15. В ответе укажите значение math.
(1) 2
(2) 6
(3) 8
(4) 15
Найдите производную по начальному условию math при math от решения math задачи Коши: y'=-y-y^2-x^2y^3, \quad y(0)=y_0 при math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите общее решение уравнения math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите все значения вещественного параметра math, при которых особая точка системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+(1-a)y \\ \dot{y} &=&(1+a)x-3y \end{array} \right. устойчива.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Два решения math и math системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x\ln{t}-ye^{t} \\ \dot{y} &=&x\arctg{t}+y \end{array} \right., удовлетворяют начальным условиям: \overrightarrow{\varphi}(1)= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right), \quad \overrightarrow{\psi}(1)= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right). Найдите значение их определителя Вронского при math.
(1) -64
(2) -54
(3) -44
(4) -34
Известны три частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка: math, math и math. Найдите решение с начальным условием math, math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите задачу Коши: y''+(2+4y^2){y'}^3-2y{y'}^2=0, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=\frac12 В ответе укажите значение math
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 8
Решите уравнение Эйлера math при math. Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите его значение math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-2x-y+37\sin{t} \\ \dot{y} &=&-4x-5y \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите задачу Коши math, math. В ответе укажите его предел при math
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 10
Решите операционным методом задачу Коши math, math, math при math. В ответе укажите значение math.
(1) 12
(2) 13
(3) 14
(4) 15
Исследовать функционал на экстремум: \int\limits_0^1\left[(y_1')^2+(y_2')^2\right]dx, \quad y_1(0)=y_2(0)=0, \quad y_1(1)=y_2(1)=1. В ответе введите значение math.
(1) 0
(2) 1
(3) 8
(4) 12
Методом введения параметра найдите решение уравнения math с начальными условиями math, math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) -30
(2) -20
(3) -15
(4) -10
Решите задачу Коши y'=\frac{y}{x}-2x^2, \quad y(1)=10 В ответе укажите значение её решения при math
(1) 2
(2) 10
(3) 14
(4) 18
У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3xy \\ \dot{y} &=&e^{-4xy}-x \end{array} \right. найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите функцию math, удовлетворяющую дифференциальному уравнению x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial y}=0 и начальному условию u=2x \quad \textrm{при} \quad y=1. В ответе укажите значение math.
(1) 3
(2) 4
(3) 12
(4) 24
С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши: xy''+(2-2x)y'+(x-2)y=2e^{2x}, \quad y(1)=e^2, \quad y'(1)=e^2+e В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите его значение math
(1) 6
(2) 9
(3) 17
(4) 36
Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}y'+a_ny=0 наименьшего порядка math, которое имеет частные решения math и math. В ответе укажите сумму math
(1) 2
(2) 4
(3) 6
(4) 8
С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3x+y \\ \dot{y} &=&-x+5y \end{array} \right.. В ответе укажите значение math при math для решения, удовлетворяющего начальным условиям math, math.
(1) 0
(2) 1
(3) 3
(4) 5
Найдите траекторию, проходящую через точку math и ортогональную семейству кривых math. Укажите значения math, при котором она пересекает прямую math
(1) -1
(2) 1
(3) -2
(4) 2
Решите операционным методом задачу Коши math, math, math при math. В ответе укажите значение math.
(1) -2
(2) -1
(3) 0
(4) 1
Найти допустимые экстремали math вариационной задачи: \int\limits_0^{\pi/2}\left[y^2-2(y')^2+(y'')^2\right]dx, \quad y(0)=y'(0)=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \quad y'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac2\pi. В ответе введите значение math.
(1) 2
(2) 10
(3) 30
(4) 60
Найдите особое решение уравнения math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Решите задачу Коши для дифференциального уравнения math с начальным условием math. В ответе укажите значение math
(1) 2
(2) 4
(3) 6
(4) 8
У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\pi+\arctg{(x^3-8-\tg{y})}-y \\ \dot{y} &=&2x+12\tg{y}-4 \end{array} \right. найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите функцию math, удовлетворяющую дифференциальному уравнению 2 \sqrt{x} \frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial y}=0 и начальному условию u=y^2 \quad \textrm{при} \quad x=1. В ответе укажите значение math при math и math.
(1) 15
(2) 17
(3) 19
(4) 21
Система \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{x\cos^2t+y(\sin{t}\cos{t}-1)} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{x(\sin{t}\cos{t}+1)+y\sin^2t} \end{array} \right., имеет решение \left\{ \begin{array}{ccl} x &=&-\sin{t} \\ y &=&\cos{t} \end{array} \right.. Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math при math.
(1) 1
(2) 2
(3) 5
(4) 7
С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши: x^2y''-x(x+3)y'+(2x+3)y=x^4, \quad y(1)=1+e, \quad y'(1)=2e. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите его значение math
(1) 2
(2) e-2
(3) e2
(4) e
(5) e-1
Найдите решение краевой задачи: y''-y=e^{2x}, \quad y(0)=\frac13, \quad y(2)=\frac13e^4 В ответе введите его значение при math
(1) 3
(2) 6
(3) 9
(4) 12
С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-x+y \\ \dot{y} &=&-5x+3y \end{array} \right.. В ответе укажите значение math при math для решения, удовлетворяющего начальным условиям math, math.
(1) -5
(2) 0
(3) 3
(4) 5
Чайник за 10 минут остыл от math до math. Температура воздуха в комнате math. За сколько минут чайник остынет от math до math? (Скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.)
(1) 20
(2) 25
(3) 30
(4) 35
Решите операционным методом задачу Коши \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3x-4y+e^{-t} \\ \dot{y} &=&x-2y+e^{-t} \end{array} \right., \quad x(0)=-1, \quad y(0)=1 при math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Решите изопериметрическую вариационную задачу \int\limits_1^2 x(y')^2 \, dx, \quad y(1)=0, \quad y(2)=12, \quad \int\limits_1^2 xy\,dx=9. В ответе укажите значение math.
(1) 2
(2) 4
(3) 9
(4) 12
Методом введения параметра найдите решение уравнения \frac{y}{xy'}+\ln{y'}=1 с начальными условиями math, math. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Найдите общее решение уравнения math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Для уравнения \ddot{x}-e^{2\dot{x}}-x^3=0 найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Найдите функцию $u$, удовлетворяющую дифференциальному уравнению xy^3\frac{\partial u}{\partial x}+x^2z^2\frac{\partial u}{\partial y}+y^3z\frac{\partial u}{\partial z}=0 и начальному условию u={y}^4 \quad \textrm{при} \quad xz^3=1. В ответе укажите значение math.
(1) 2
(2) 5
(3) 10
(4) 12
Решите неоднородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&4x-2y \\ \dot{y} &=&8x-4y+5\sqrt{t} \end{array} \right. методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) -4
(2) -2
(3) 4
(4) 5
Решите неоднородное уравнение \displaystyle{y''+3y'=\frac{3x-1}{x^2}} методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math, math. В ответе укажите значение math.
(1) 3
(2) 5
(3) 6
(4) 8
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math, math. В ответе укажите его значение math
(1) 2
(2) 4
(3) 12
(4) 13
Найдите решение краевой задачи: x^2y''+2xy'-6y=6x^3, \quad y(x)=O(x^2) \textrm{ при } x \to +0, \quad y(3)=18 В ответе введите его значение при math
(1) 2
(2) 4
(3) 6
(4) 18
С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&z \\ \dot{y} &=&x-y+z \\ \dot{z} &=&0 \\ \end{array} \right.. В ответе укажите значение math при math для решения, удовлетворяющего начальным условиям math.
(1) 2
(2) 4
(3) 6
(4) 8
Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км и раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Сколько секунд он падал до раскрытия парашюта? (Ответ округлить до целого числа.) Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности равна 50 м/с. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.
(1) 19
(2) 21
(3) 23
(4) 25
Решите операционным методом задачу Коши \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-x-y+e^{2t} \\ \dot{y} &=&2x+2y+2e^{2t} \end{array} \right., \quad x(0)= y(0)=1 при math. В ответе укажите значение math.
(1) -5
(2) -3
(3) 3
(4) 5
Найдите минимум функционала \int\limits_0^{\pi/2}{\left(y'\right)^2} dx, если \int\limits_0^{\pi/2}{\left(y\right)^2} dx =1, \quad y(0)=y(\pi)=1.
(1) 2
(2) 4
(3) 6
(4) 8
Найдите особое решение уравнения 2xy^2y'^2-y^3y'+1=0. При каком math оно пересекает прямую math?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
Найдите общее решение уравнения math
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Для уравнения \ddot{x}+\ln{(1-2\dot{x})}+2\arctg{x}=0 найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр
Решите неоднородную систему \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-2x+y+4t\ln{t} \\ \dot{y} &=&-4x+2y+8t\ln{t} \end{array} \right. методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math, math. В ответе укажите значение math.
(1) -12
(2) -4
(3) -3
(4) -2
Решите неоднородное уравнение y''+2y=2-4x^2\sin{x^2} методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.
(1) 2
(2) 4
(3) 8
(4) 16
Найдите решение уравнения math, удовлетворяющее начальным условиям: math. В ответе укажите его значение math
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
Найдите наименьшее вещественное значение math, при котором краевая задача y''+ ay =1, \quad y(0)=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 имеет бесконечно много решений.
(1) 4
(2) 8
(3) 12
(4) 16
Найдите math, если math и A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{array} \right).
(1) -1
(2) -2
(3) 1
(4) 3
Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения math на интервале длины math?
(1) 0
(2) 5
(3) 10
(4) 15
Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения math на отрезке длины 100?
(1) 4
(2) 7
(3) 9
(4) 63
Вещественная функция math определена, непрерывна и положительна на всей числовой прямой. Какое наименьшее число нулей может иметь на всей числовой прямой нетривиальное решение уравнения math?
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
Напишите уравнение вида math, которому удовлетворяет функция math и найдите его решение с начальными условиями math, math. В ответе укажите значение math.
(1) math
(2) math
(3) math
(4) math
(5) math
(6) math
Определить тип особой точки линейной невырожденной системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+y \\ \dot{y} &=&3y-x \end{array} \right..
(1) невырожденный узел
(2) вырожденный узел
(3) седло
(4) центр
(5) фокус
Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{-\frac{x}{y}} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{\frac{y}{x}} \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям math и math. В ответе укажите значение x(+\infty)=\lim_{t \to + \infty} x(t).
(1) 0
(2) 6
(3) 10
(4) 15
Найдите фундаментальную матрицу math системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3x-y \\ \dot{y} &=&9x-3y \end{array} \right., если math (math - единичная матрица). В ответе укажите сумму всех элементов матрицы math.
(1) 5
(2) 10
(3) 15
(4) 20
У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x^4y+y^5 \\ \dot{y} &=&x^5+xy^4 \end{array} \right. с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.
(1) неустойчивый узел
(2) устойчивый узел
(3) седло
(4) неустойчивый фокус
(5) устойчивый фокус
(6) центр