Главная / Математика / Алгебра матриц и линейные пространства

Алгебра матриц и линейные пространства - ответы на тесты Интуит

Правильные ответы выделены зелёным цветом.
Все ответы: В курсе рассматриваются основные свойства алгебры матриц, определители и свойства линейных пространств.
Разность произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали матрицы 2х2 принято называть
(1) идентификатором
(2) определителем
(3) определением
Корнями характеристического многочлена из поля этого многочлена являются
(1) любые числа
(2) собственные числа
(3) как собственные числа, так и любые другие
Определитель квадратной матрицы n-го порядка является
(1) суммой n! слагаемых-произведений
(2) произведением элементов побочной диагонали на n!
(3) разностью n!-1 произведений
Задавать отображение над полем действительных чисел
(1) не может ни одна матрица
(2) может любая прямоугольная матрица
(3) может только определенный класс прямоугольных матриц
Операция сложения для пространства строк
(1) не определена
(2) определена
(3) не имеет смысла
Возведение матрицы в нулевую степень дает в результате
(1) единицу
(2) единичную матрицу
(3) нулевую матрицу
К примерам линейных пространств можно отнести
(1) пространство строк
(2) пространство столбцов
(3) пространство прямоугольных матриц
Можно ли получить из ненулевой матрицы ступенчатую матрицу?
(1) да, это возможно
(2) нет, это невозможно из-за несоответствия классов матриц
(3) нет, невозможно из-за ограниченности понятийной базы
В каком случае непустое множество считается линейным подпространством линейного пространства?
(1) когда сумма элементов множества принадлежит этому множеству
(2) в том случае, если множество не содержит нулевых и пустых элементов
(3) тогда, когда произведение элемента множества на элемент поля под линейным пространством принадлежит этому множеству
Может ли подпространство иметь проективную размерность?
(1) нет, это невозможно
(2) да, может иметь
(3) проективную размерность может иметь только подпространство целых чисел
Чему равен определитель единичной матрицы 2х2?
(1) 1
(2) 0
(3) -1
Может ли матрица иметь собственное число?
(1) да, может
(2) нет, это невозможно
(3) это не определено правилами собственных чисел
Если элементы матрицы являются дифференцируемыми функциями, то
(1) найти определитель невозможно
(2) определитель является дифференцируемой функцией
(3) определитель будет равен 1
К элементам отображаемой матрицы прибавлены другие элементы. Тогда отображение этой матрицы
(1) состоит из суммы отображений исходных элементов и добавленных
(2) состоит из произведения отображений исходных элементов и добавленных
(3) символы конкатенации
Операция сложения для пространства столбцов
(1) не определена
(2) определена
(3) не имеет смысла
Матрица считается обратной исходной в том случае, если
(1) произведение двух этих матриц равно 0
(2) произведение двух этих матриц равно 1
(3) произведение двух этих матриц равно единичной матрице
Линейное пространство над любым полем представляет собой
(1) множество с операцией сложения
(2) множество с операцией умножения
(3) множество с операциями сложения и умножения
Чтобы получить ступенчатую матрицу из ненулевой матрицы необходимо
(1) произвести конечное число элементарных преобразований строк
(2) заменить строки столбцами
(3) заменить элементы главной диагонали элементами побочной
Являются ли элементы линейного подпространства линейно независимыми?
(1) да, являются
(2) нет, это невозможно
(3) могут быть как независимыми, так и зависимыми
Чему равна проективная размерность нулевого подпространства?
(1) 0
(2) -1
(3) 1
Квадратная система уравнений является определенной, если её определитель
(1) равен нулю
(2) не равен нулю
(3) всегда строго больше нуля
Все собственные векторы матрицы относительно собственного числа - это
(1) несуществующие элементы
(2) нулевые элементы
(3) все ненулевые решения системы
Любая ступенчатая матрица является
(1) неопределенной
(2) детерминированной
(3) треугольной
Возможно ли отображение матрицы из одного линейного пространства в другое?
(1) нет, не возможно
(2) да, возможно
(3) не имеет практического смысла
К операциям, определяемым для пространства столбцов, относят
(1) сложение
(2) альтернативную интерпретацию
(3) умножение
Если обратная матрица B к матрице A существует, то
(1) ее определитель равен нулю
(2) она однозначно определена
(3) она неопределена
В линейном пространстве должна обеспечиваться ассоциативность сложения. Так ли это?
(1) нет, утверждение неверно
(2) да, это действительно так
(3) это зависит от ряда специфических условий
Системы строк ступенчатых матриц, полученных из одной ненулевой матрицы, в линейном пространстве строк
(1) совпадают
(2) являются эквивалентными
(3) линейно выражаются друг через друга
Возможна ли операция пересечения линейных подпространств?
(1) нет, так как она не ассоциативна
(2) невозможна, потому эта операция не является коммутативной
(3) да, возможна, это не противоречит определению
Одномерные линейные подпространства имеют
(1) нулевую проективную размерность
(2) проективную размерность, не более единицы
(3) проективную размерность, равную -1
Правило Крамера для квадратных систем уравнений второго порядка утверждает, что решением этой системы являются числа, полученные в результате
(1) деления соответствующих миноров на определитель системы
(2) умножения соответствующих миноров на элементы главной диагонали
(3) сложения соответствующих миноров с элементами побочной диагонали
Множество всех собственных векторов матрицы относительно собственного числа
(1) не образует линейного подпространства в множестве столбцов
(2) образует линейное подпространство в множестве столбцов
(3) не определено вообще
Функция с базовыми свойствами определителя
(1) не существует
(2) существует во множественном проявлении
(3) существует и единственна
Линейное отображение - это
(1) отображение последовательных элементов
(2) отображение частичных детерминантов
(3) отображение из одного пространства в другое
Для пространства прямоугольных матриц определены операции
(1) интерпретации
(2) сложения
(3) умножения
Для любого элемента моноида обратный элемент является
(1) неоднозначным
(2) единственным
(3) неопределенным
Существование нейтрального элемента для линейного пространства
(1) необходимо
(2) не имеет значения
(3) не определено
Возможно ли совпадение линейных оболочек строк ступенчатых матриц, образованных из одной ненулевой матрицы?
(1) нет, так как они не равны изначально
(2) нет, так как линейные оболочки строк универсальны и не могут совпадать
(3) да, такое совпадение возможно
Линейное подпространство, полученное пересечением двух линейных подпространств, является самым маленьким среди подпространств, содержащих одновременно оба указанные подпространства. Верно ли это?
(1) нет, пересечение двух линейных подпространств является наибольшим среди подпространств
(2) да, это верно и не противоречит определению
(3) это не верно только в случае пустых множеств, а в остальном верно
Точками проективной геометрии называют
(1) нулевые проекции элементов
(2) элементы подмножеств, не соответствующие контексту проекции
(3) одномерные линейные подпространства
Определитель матрицы 2х2, в которой элементы обеих диагоналей поменяли местами
(1) противоположен по знаку определителю исходной
(2) равен определителю исходной
(3) является по своему значению обратным определителю исходной матрицы
Верно ли то, что все собственные векторы ненулевые?
(1) да, это так и есть
(2) нет, утверждение неверно
(3) все зависит от главной диагонали матрицы
Матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны 0, называется
(1) прямоугольной
(2) треугольной
(3) трапециевидной
Отображение, задаваемое прямоугольной матрицей, определяет
(1) линейное преобразование соответствующих линейных пространств столбцов
(2) линеаризацию пространства в дифференциальной зависимости
(3) линейность строк по отношению к столбцам
Под сложением двух матриц принято понимать
(1) сложение произведений соответствующих элементов
(2) произведение соответствующих элементов
(3) сложение соответствующих элементов
Если определитель матрицы равен нулю, то
(1) обратная матрица будет единичной
(2) обратная матрица будет нулевой
(3) обратная матрица не существует
Нейтральный элемент линейного пространства используется
(1) для конъюнкции
(2) для инъекции
(3) для сложения
Ступенчатые матрицы образованы из ненулевой матрицы. Где расположены лидеры строк этих матриц?
(1) на главных диагоналях
(2) на побочных диагоналях
(3) в одних и тех же столбцах
Что является результатом пересечения одинаковых подпространств в линейном пространстве?
(1) такое же подпространство
(2) линейное пространство
(3) пустое множество
Двумерные линейные подпространства имеют
(1) проективную размерность, равную 2
(2) проективную размерность, равную единице
(3) проективную размерность, равную -1
В декартовой системе координат параллелограмм построен на векторах, которые построчно образуют квадратную матрицу второго порядка. Определитель такой матрицы является
(1) периметром параллелограмма
(2) площадью параллелограмма
(3) полупериметром параллелограмма
Что получится, если добавить к множеству всех собственных векторов матрицы нулевой вектор?
(1) пустое множество
(2) нулевой вектор
(3) линейное подпространство всех решений системы
Получение из матрицы nхn матрицы (n-1)х(n-1) путем вычеркивания строки и столбца, которые объединяет один элемент, называется
(1) транспонированием
(2) нахождением минора этого элемента
(3) составлением алгебраического дополнения
Поворот плоскости вокруг точки (0,0) на определенный угол
(1) не является линейным отображением
(2) является линейным отображением
(3) только в некоторых специфических случаях можно назвать линейным отображением
Что является нейтральным элементом в пространстве прямоугольных матриц?
(1) нулевая матрица
(2) единичная матрица
(3) вектор-столбец с единицами на всех местах
Элемент обратной матрицы получается в результате
(1) перемножения элементов исходной матрицы на величину определителя
(2) сложения определителя с элементами главной диагонали
(3) деления соответствующих элементов присоединенной матрицы на определитель
В линейном пространстве должен присутствовать
(1) интерпретатор для обратной связи
(2) детерминант элемента
(3) элемент, противоположный любому другому
Если ступенчатые матрицы являются главными ступенчатыми видами ненулевой матрицы, из которой они образованы, то
(1) эти матрицы эквивалентны в линейном выводе
(2) эти матрицы равны
(3) у этих матриц нет лидеров в строках
Что является результатом суммы одинаковых подпространств в линейном пространстве?
(1) такое же подпространство
(2) линейное пространство
(3) пустое множество
Прямыми проективной геометрии называют
(1) нулевые проекции элементов
(2) элементы подмножеств, не соответствующие контексту проекции
(3) двумерные линейные подпространства
Знак произведений, составляющих в сумме определитель матрицы, определяется
(1) размерностью матрицы
(2) четностью или нечетностью подстановки
(3) значением определителя
Может ли быть такое, что для матрицы нет действительных собственных чисел?
(1) да, такое может быть
(2) нет, это невозможно
(3) пока таких случаев не встречалось, хотя теоретически это возможно
Минор первого элемента единичной квадратной матрицы, размерностью 2х2, равен
(1) 1
(2) 0
(3) -1
Поворот плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол является линейным отображением. В главной диагонали матрицы такого поворота стоят значения
(1) синуса угла поворота
(2) косинуса угла поворота
(3) как синуса, так и косинуса этого угла
Нулевая матрица - это
(1) матрица, в которой ниже побочной диагонали все элементы равны нулю
(2) матрица, в которой ниже главной диагонали все элементы равны нулю
(3) матрица, все элементы которой равны нулю
Верно ли, что определитель обратной матрицы обратно пропорционален определителю исходной матрицы?
(1) нет, утверждение противоречит определению обратной матрицы
(2) да, это верно
(3) это верно только в частных случаях
Умножение элемента линейного пространства на 1 дает в результате
(1) сам элемент
(2) единицу
(3) ноль
Линейная выражаемость систем строк матрицы является
(1) коммутативной
(2) транзитивной
(3) инъективной
Применим ли ассоциативный закон при операциях с подпространствами?
(1) да, применим
(2) нет, это невозможно
(3) зависит от типа подпространства
Наивысший порядок ненулевого минора матрицы называют
(1) приоритетом
(2) рангом
(3) мерностью
Алгебраическая сумма всех произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, называется
(1) дискриминантом
(2) определителем
(3) алгебраическим дополнением
Могут ли собственные числа матрицы быть комплексными?
(1) нет, это исключено
(2) да, могут
(3) зависит от того, равен ли определитель нулю
Произведение минора элемента на -1 в степени, равной сумме индексов элемента по строке и столбцу, называется
(1) определитель
(2) алгебраическое дополнение
(3) функционал минора
Матрица, задающая линейное отображение столбцов
(1) имеет множественное определение
(2) не определена
(3) определяется однозначно
Перемножены две матрицы, потом их поменяли местами и снова перемножили. Совпадут ли результаты?
(1) нет, это невозможно в любом случае
(2) совпадут всегда
(3) при определенных условиях могут совпасть
Матрица, имеющая правую обратную
(1) необратима
(2) обратима
(3) неопределена
Меняется ли произведение от перемены мест множителей, которыми являются элементы линейного пространства?
(1) нет, не меняется
(2) не меняется только в частных случаях
(3) меняется всегда
Разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами матриц, образованных из ненулевой матрицы
(1) не совпадают
(2) совпадают
(3) могут совпадать, а могут отличаться
В линейном пространстве существуют два подпространства A и B. Подпространство A складывается с пересечением подпространств A и B. Что получится в результате?
(1) подпространство A
(2) подпространство B
(3) сумма подпространств A и B
Число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы
(1) больше ранга матрицы
(2) меньше ранга матрицы
(3) совпадает с рангом матрицы
Определитель матрицы, в которой равны нулю только элементы ниже главной диагонали
(1) равен нулю
(2) не равен нулю
(3) во всех случаях строго больше нуля
Матрицы A и B связаны соотношением AB=BA. О чем это свидетельствует?
(1) для них существует общий собственный вектор
(2) они не могут быть транспонированы
(3) это нулевые матрицы
Чему равно алгебраическое дополнение элемента первой строки и второго столбца, если минор этого элемента равен 3?
(1) -3
(2) 3
(3) 9
Любое линейное отображение линейных пространств столбцов может задаваться
(1) матрицей
(2) определителем
(3) набором детерминантов
Является ли умножение матриц коммутативным?
(1) да, является
(2) нет, не является
(3) может являться, но только при определенных условиях, но в общем случае не является
Для существования матрицы, обратной произведению двух матриц необходимо, чтобы
(1) существовала матрица, обратная левой матрице
(2) существовала матрица, обратная правой матрице
(3) существовали обе обратные матрицы
Если сумма двух одинаковых элементов линейного пространства равна этому элементу, то это значит, что
(1) этот элемент равен единице
(2) этот элемент равен нулю
(3) этот элемент неопределенный детерминант
Каким образом главные неизвестные выражаются через свободные?
(1) многообразно
(2) независимо
(3) однозначно
Любая максимальная линейно независимая подсистема в линейной оболочке не может быть базисом линейного подпространства. Верно ли это?
(1) это верно только в случае, когда подсистема не содержит нулевых элементов
(2) это верно во всех случаях
(3) это неверно во всех случаях
Ранг системы строк матрицы
(1) выше ранга системы столбцов
(2) ниже ранга системы столбцов
(3) равен рангу системы столбцов
Транспонирование - это
(1) симметрия относительно столбца
(2) симметрия относительно диагонали
(3) симметрия относительно строки
Укажите неверное утверждение:
(1) корнями характеристического многочлена из поля этого многочлена являются собственные числа
(2) все собственные векторы матрицы относительно собственного числа - это нулевые элементы
(3) все собственные вектора матрицы ненулевые
Если квадратная система линейных уравнений не имеет решения, то определитель матрицы ее коэффициентов
(1) равен нулю
(2) равен единице
(3) невозможно определить
Какое из утверждений неверно?
(1) произведение линейных отображений линейных пространств является линейным отображением
(2) произведение линейных отображений линейных пространств не является линейным отображением
(3) главная диагональ матрицы поворота плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол содержит косинусы
Умножение матриц
(1) инъективно
(2) конъюнктивно
(3) ассоциативно
Если обратная матрица равна транспонированной, то исходная матрица называется
(1) ортогональной
(2) деструктивной
(3) интерпретационной
Если системы линейно выражаются друг через друга, то они называются
(1) эквипотенциальными
(2) эквивалентными
(3) равнозначными
Если определитель матрицы равен нулю, то
(1) строки транспонированной матрицы линейно зависимы
(2) определитель транспонированной матрицы равен 1
(3) определитель транспонированной матрицы равен 0
Все прямые дополнения линейного пространства
(1) гомоморфны
(2) изоморфны
(3) полиморфны
Столбцы ступенчатой матрицы, проходящие через уголки ступенек, образуют
(1) алгебраическое дополнение
(2) полную линейную комбинацию
(3) максимальную линейно независимую подсистему столбцов
Столбцы матрицы линейно независимы. Тогда можно говорить о том, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям
(1) не определены
(2) линейно независимы
(3) являются нулевыми
Произведение линейных отображений линейных пространств
(1) не может являться линейным отображением
(2) является линейным отображением
(3) может определяться по разному - в зависимости от порядка матрицы отображения
Свободные члены системы линейных уравнений в матричной интерпретации образуют
(1) столбец свободных членов
(2) матрицу коэффициентов
(3) матрицу определенности
Дает ли матрица, обратная обратной в результате исходную?
(1) да, это верно
(2) нет, утверждение неверно
(3) это может быть правильно только в очень редких случаях, а в остальном неверно
Умножение элемента линейного множества на -1 даст в результате
(1) сам элемент
(2) элемент с противоположным знаком
(3) элемент с противоположным значением
Могут ли быть изоморфными конечномерные линейные пространства?
(1) да, могут
(2) нет, не могут
(3) это не определено, так как не имеет практического смысла
Дополнение подпространства элементами возможно. А возможно ли такое дополнение с базисами?
(1) нет, не возможно
(2) да, возможно
(3) все зависит от наличия нулевых элементов
При элементарных преобразованиях строк линейные соотношения между столбцами
(1) теряются
(2) сохраняются
(3) могут теряться, а могут сохраняться
A, B, C - матрицы. Можно ли с помощью теоремы Сильвестера определить количество возможных решений X уравнения AX-XB=C?
(1) нет, можно определить с помощью этой теоремы только тип результата
(2) да, можно определить количество решений X
(3) это зависит от определенности матриц B и C
Преобразования первого типа
(1) меняют определитель
(2) не меняют определитель
(3) могут менять определитель, а могут оставлять его без изменений
Выберите из нижеприведенных утверждений правильное:
(1) поворот плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол не является линейным отображением
(2) главная диагональ матрицы поворота плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол содержит синусы
(3) матрица, задающая линейное отображение столбцов, задается однозначно
Характерно ли для матриц свойство дистрибутивности?
(1) да, характерно
(2) нет, не является характерным
(3) является характерным только в некоторых частных случаях
Множество матриц с единичным определителем с операцией умножения является
(1) линейной группой
(2) специальной линейной группой
(3) обратимой линейной группой
Если подсистема линейно зависима, то
(1) вся система линейно зависима
(2) система линейно независима
(3) система может быть как независимой, так и зависимой
Линейное пространство является бесконечномерным линейным пространством тогда, когда
(1) в нем нет базиса из конечного числа элементов
(2) в нем есть конечный базис
(3) в нем нет базиса вообще
Можно ли определить прямое дополнение подпространства?
(1) нет, это невозможно даже теоретически
(2) да, это возможно
(3) только если прямое дополнение не содержит модуляционных символов
Наивысший порядок ненулевого минора ступенчатой матрицы
(1) выше, чем число ненулевых строк
(2) ниже числа ненулевых строк
(3) совпадает с числом ненулевых строк
Определителем матрицы 2х2 называют
(1) сумму элементов главной диагонали
(2) результат вычитания из произведения элементов главной диагонали произведения побочных элементов
(3) сумму элементов побочной диагонали
Что называют корнями характеристического многочлена из поля этого многочлена?
(1) любые числа
(2) собственные числа
(3) как собственные числа, так и любые другие
В квадратной матрице n-го порядка сумма n! слагаемых-произведений является
(1) минором
(2) алгебраическим дополнением
(3) определителем
Может ли прямоугольная матрица задавать отображение над полем действительных чисел?
(1) не каждая матрица
(2) не может
(3) может каждая матрица
Определена ли операция сложения для пространства строк?
(1) нет, не определена
(2) да, определена
(3) не определена, так как не имеет смысла
Что получится в результате возведения матрицы в нулевую степень?
(1) нуль
(2) нулевая матрица
(3) единичная матрица
К понятию линейных пространств принято относить
(1) пространство квадратных матриц
(2) пространство многочленов
(3) пространство непрерывных вещественных функций
Верно ли, что из ненулевой матрицы в любом случае невозможно получить ступенчатую матрицу?
(1) да, это верно и полностью соответствует определению
(2) нет, это утверждение неверно
(3) утверждение верно, так как существует несоответствие типов матриц
Существует ли по крайней мере одно линейное подпространство в линейном пространстве?
(1) да, существует
(2) нет, это невозможно по определению
(3) в зависимости от типа поля линейного пространства
Присуще ли подпространству понятие проективной размерности?
(1) да, это одно из базовых понятий
(2) нет, подпространство не обладает проективной размерностью
(3) все зависит от наличия в подпространстве нулевых символов
Определитель единичной матрицы 2х2 про своему значению
(1) больше единицы
(2) меньше единицы
(3) равен единице
Может ли матрица иметь собственный вектор?
(1) да, может
(2) нет, это невозможно
(3) это не определено правилами собственных векторов
Если элементы матрицы являются дифференцируемыми функциями , то
(1) ее определитель является дифференцируемой функцией
(2) матрица не определена
(3) матрицу невозможно транспонировать
Константа, являющаяся общей для всех элементов отображаемой матрицы
(1) может быть вынесена при отображении, если определитель равен нулю
(2) выносится при отображении
(3) не может выноситься за отображение - это противоречит определению
Определена ли операция сложения для пространства столбцов?
(1) нет, не определена
(2) да, определена
(3) не определена, так как не имеет смысла
Если умножение матрицы на другую дает в результате единичную матрицу, то
(1) эта матрица нулевая
(2) эта матрица обратная данной
(3) эта матрица треугольная
Можно ли с помощью определенного количества элементарных преобразований строк получить из ненулевой матрицы ступенчатую матрицу?
(1) нет, это невозможно, так как существует несоответствие в классе
(2) да, это возможно
(3) нет, это невозможно, так как противоречит определению
Если элементы линейного подмножества линейно независимы, то в линейном множестве они будут линейно зависимы. Верно ли это?
(1) да, утверждение верно
(2) нет, это не так
(3) все зависит от размера пространства и типа поля
Проективная размерность нулевого подпространства равна
(1) 0
(2) 1
(3) -1
Если определитель квадратной системы отличен от нуля, то система считается
(1) неопределенной
(2) определенной
(3) неоднозначной
Верно ли то, что все собственные векторы матрицы относительно собственного числа - это все ненулевые решения системы?
(1) нет, утверждение неверно
(2) да, это правильно
(3) верно только обратное
Треугольной считается
(1) детерминированная матрица
(2) любая ступенчатая матрица
(3) матрица, принадлежащая классу детализированных матриц вероятностей
Отображение матрицы из одного линейного пространства в другое
(1) является очень трудоемким процессом, и потому не используется
(2) используется при определенных условиях
(3) невозможно теоретически
Определена ли операция умножения для пространства столбцов?
(1) нет, не определена
(2) да, определена
(3) не может быть определена
Обратная к другой матрице матрица определяется
(1) множественным образом
(2) однозначно
(3) порядком матрицы
Верно ли, что в линейном пространстве не должна выполняться коммутативность сложения?
(1) да, это полностью соответствует определению
(2) нет, это неверно
(3) это связано с рядом трудностей, однако верно
Ступенчатые матрицы образованы из одной ненулевой матрицы. Возможно ли линейное выражение строк этих матриц друг через друга?
(1) нет, это невозможно, так как матрицы однородны
(2) да, это возможно и широко применяется
(3) нет, это невозможно, так как матрицы не лежат в одном линейном пространстве
В линейном пространстве имеются два подпространства. Возможно ли их взаимное пересечение?
(1) зависит от того, как определяются элементы этих пространств
(2) важно знать, какое подпространство пересекается справа; в нем не должно быть пустых элементов
(3) такое пересечение вполне возможно
Какую проективную размерность имеют одномерные линейные подпространства?
(1) 1
(2) 0
(3) 2
Согласно правилу Крамера для квадратных систем уравнений второго порядка, результаты деления алгебраических миноров на определитель системы являются
(1) элементами побочной диагонали
(2) элементами главной диагонали
(3) решениями системы уравнений
Множество всех собственных векторов матрицы относительно собственного числа не образует линейного подпространства в множестве столбцов. Верно ли это?
(1) да, это верно
(2) нет, неверно, образуют
(3) это образование напрямую зависит от наличия нулей в побочной диагонали матрицы
Существует ли функция с базовыми свойствами определителя?
(1) это невозможно по определению
(2) да, существует и является единственной
(3) не имеет практического применения
Отображение из одного линейного пространства в другое носит название
(1) линейная детерминизация
(2) линейное преобразование
(3) линейное отображение
Определена ли операция умножения для пространства прямоугольных матриц?
(1) нет, не определена
(2) да, определена
(3) не определена из-за недостатка понятийной базы
Для любого элемента моноида обратный элемент является единственным. Верно ли это?
(1) да, утверждение верно
(2) нет, это не так, но только в некоторых случаях
(3) нет, обратных элементов существует бесконечное множество
Правильно ли утверждение, что для линейного пространства должен существовать нейтральный элемент?
(1) да, это правильно
(2) нет, это противоречит определению
(3) это верно только для пространства прямоугольных матриц
Ступенчатые матрицы образованы из ненулевой матрицы путем эквивалентных преобразований. Возможно ли совпадение линейных оболочек строк этих матриц?
(1) да, такое совпадение вполне возможно
(2) нет, это исключено по причине несоответствия классов матриц
(3) это невозможно, потому что такие матрицы будут иметь разные размеры
Линейное подпространство, полученное суммой двух линейных подпространств, является самым маленьким среди подпространств, содержащих одновременно оба указанные подпространства. Верно ли это?
(1) верно обратное утверждение
(2) да, утверждение верно и не противоречит определению подпространств
(3) все зависит от содержания нулевых элементов в подпространствах
Что представляют собой точки проективной геометрии?
(1) контекстные подмножества
(2) одномерные линейные подпространства
(3) неопределенный набор контекстных элементов
Как связаны между собой определители матрицы 2х2, в которой элементы в строках поменять местами?
(1) они противоположны по знаку
(2) их произведение дает единицу
(3) они равны и по знаку, и по значению
Все собственные вектора матрицы ненулевые. Так ли это?
(1) да, это так
(2) нет, это неверно
(3) это зависит от наличия нулей на побочной диагонали
Треугольной называется матрица, в которой
(1) все элементы побочной диагонали равны нулю
(2) все элементы ниже главной диагонали равны нулю
(3) все элементы ниже главной диагонали равны единице
Линейное преобразование соответствующих линейных пространств столбцов определяется
(1) отображением прямоугольной матрицы
(2) линейностью в зависимости определителя от порядка матрицы
(3) наличием детерминантов в конечном линейном представлении матрицы
В результате сложения двух матриц получается
(1) вектор-строка
(2) вектор-столбец
(3) матрица
Может ли существовать обратная матрица, если определитель исходной равен нулю?
(1) нет, не может
(2) может, но такие случаи встречаются редко
(3) да, может всегда
Относительно какой операции существует нейтральный элемент?
(1) умножения
(2) сложения
(3) интерпретации
Лидеры строк ступенчатых матриц, образованных из ненулевой матрицы, располагаются на побочных диагоналях. Верно ли это?
(1) нет, утверждение неверно, они располагаются на главных диагоналях
(2) нет, это неверно, они располагаются в одних и тех же столбцах
(3) да, это утверждение верно
Верно ли то, что результатом пересечения двух одинаковых подпространств в линейном пространстве является пустое множество?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) это зависит от содержания нулевых элементов в этих подпространствах
Какую проективную размерность имеют двумерные линейные подпространства?
(1) 1
(2) 0
(3) 2
В декартовой системе координат параллелограмм построен на векторах, которые построчно образуют квадратную матрицу второго порядка. Площадью такого параллелограмма является
(1) сумма элементов побочной диагонали
(2) сумма элементов главной диагонали
(3) определитель матрицы
К множеству всех собственных векторов матрицы добавлен нулевой вектор. Можно ли утверждать, что образовалось линейное подпространство всех решений системы?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) не хватает еще пустого подмножества
Минор элемента матрицы - это
(1) определитель матрицы, которая получилась вычеркиванием строки и столбца этого элемента
(2) определитель матрицы, составленной из элементов главной диагонали
(3) определитель матрицы, составленной из элементов побочной диагонали
К линейным отображениям можно отнести
(1) поворот плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол
(2) процесс нахождения площади четырехугольника в декартовой системе координат
(3) интерполяцию простейших детерминированных символов
В пространстве прямоугольных матриц нейтральным элементом является
(1) число 1
(2) единичная матрица
(3) нулевая матрица
Является ли необходимым наличие в линейном пространстве противоположного элемента?
(1) да, является
(2) нет, не всегда
(3) не имеет смысла вообще
Если ступенчатые матрицы являются главными ступенчатыми видами ненулевой матрицы, из которой они образованы, то эти матрицы отличаются друг от друга типом конечного представления. Верно ли это?
(1) да, это соответствует определению
(2) нет, эти матрицы равны
(3) да, так как линейные оболочки строк этих матриц не равны между собой
Верно ли то, что результатом суммы двух одинаковых подпространств в линейном пространстве является пустое множество?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) это зависит от содержания нулевых элементов в этих подпространствах
Что представляют собой прямые проективной геометрии?
(1) контекстные подмножества
(2) двумерные линейные подпространства
(3) неопределенный набор контекстных элементов
Четная подстановка определяет
(1) отрицательный знак произведения, которое является частью определителя
(2) положительный знак произведения, которое является частью определителя
(3) наличие нулей в главной диагонали
Может ли быть такое, что для матрицы нет собственных векторов?
(1) да, такое может быть
(2) нет, это невозможно
(3) пока таких случаев не встречалось, хотя теоретически это возможно
Минор первого элемента единичной квадратной матрицы, размерностью 3х3, равен
(1) 1
(2) 0
(3) -1
Поворот плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол является линейным отображением. Элементы побочной диагонали матрицы такого поворота определяются значением
(1) синуса угла поворота
(2) косинуса угла поворота
(3) как синуса, так и косинуса этого угла
Какую матрицу принято называть нулевой?
(1) ту, в которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю
(2) ту, в которой только на побочной диагонали нет нулей
(3) ту, в которой все элементы равны нулю
Произведение определителя обратной матрицы на определитель исходной дает в результате
(1) 1
(2) 0
(3) -1
Правильно ли то, что умножение любого элемента линейного пространства на единицу дает в результате единицу?
(1) да, это верно
(2) это аксиома, потому это верно
(3) нет, это неправильно
Является ли линейная выражаемость систем строк матрицы транзитивной?
(1) да, является
(2) не является, так как это противоречит правилу конъюнктивности
(3) нет, не является, так как определение выпадает из понятийной базы
В линейном пространстве есть два подпространства. Имеет ли значение при сложении этих подпространств, какое из них будет справа?
(1) нет, это неважно, результат от перестановки не изменится
(2) перестановка подпространств приведет к другому результату
(3) перестанавливать слагаемые таким образом невозможно вообще
Ранг матрицы - это
(1) наивысший порядок ненулевого минора
(2) самый низкий порядок нулевого минора
(3) сумма индексов элемента нулевого минора
Сумму произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, принято называть
(1) определителем
(2) минором
(3) знаменателем
В результате решения задачи собственные числа матрицы оказались мнимыми. Можно ли утверждать на этом основании, что решение ошибочно?
(1) да, можно
(2) нет, нельзя
(3) нельзя только в редких случаях, а в остальных можно
Алгебраическое дополнение элемента - это
(1) произведение минора элемента на -1 в степени индекса строки элемента
(2) произведение минора элемента на -1 в степени индекса столбца элемента
(3) произведение минора элемента на -1 в степени, равной сумме индексов элемента по строке и столбцу
Два отображения матриц в одно пространство
(1) не могут быть равны между собой
(2) равны между собой всегда
(3) равны только тогда, когда равны отображаемые матрицы
Перемножаются две матрицы размерностью 2х2. Что получится в результате?
(1) матрица 4х4
(2) матрица 2х2
(3) вектор-строка
Если матрица обратима, то она имеет
(1) левую обратную
(2) правую обратную
(3) как левую обратную, так и правую
Действует ли правило коммутативности операции сложения для элементов линейного пространства?
(1) да, действует
(2) нет, не действует
(3) действует только в специфических случаях
Совпадают ли разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами ступенчатых матриц, образованных из ненулевой матрицы?
(1) нет, не совпадают, так как лидеры строк этих матриц неравны между собой
(2) нет, не совпадают, так как это противоречит определению разбиения
(3) да, совпадают
В линейном пространстве существуют два подпространства A и B. Подпространство A пересекается с суммой подпространств A и B. Что получится в результате?
(1) подпространство A
(2) подпространство B
(3) пересечение подпространств A и B
Совпадает ли число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы с рангом матрицы?
(1) да, совпадает
(2) нет, это невозможно
(3) это возможно только в очень редких случаях
При перестановке двух строк матрицы определитель
(1) меняет знак на противоположный
(2) остается без изменений
(3) будет равен нулю
Верно ли то, что для матриц A и B, связанных соотношением AB=BA, не существует общего собственного вектора?
(1) да, это верно
(2) это верно только в некоторых случаях
(3) нет, это неверно
Минор элемента второй строки и третьего столбца матрицы равен 15. Чему равно алгебраическое дополнение этого элемента?
(1) 15
(2) -15
(3) 5
Верно ли то, что любое отображение линейных пространств столбцов может задаваться матрицей?
(1) нет, не любое
(2) да, верно
(3) неверно в любом из возможных случаев
Делители нуля - это
(1) ненулевые элементы, произведение которых равно нулю
(2) нулевые элементы
(3) ненулевые элементы, сумма которых равна нулю
Верно ли то, что матрица, обратная к произведению двух матриц, равна произведению матриц, обратных к данным?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) это может быть очень редко, а в основном утверждение неверно
Произведение элемента линейного пространства на нуль дает в результате
(1) сам элемент
(2) нуль
(3) единицу
Верно ли то, что главные неизвестные выражаются через свободные неоднозначным образом?
(1) да, это утверждение верно
(2) нет, это неверно
(3) это зависит от порядка и класса матрицы
Может ли максимальная линейно независимая подсистема в линейной оболочке являться базисом линейного подпространства?
(1) это противоречит определению
(2) да, может
(3) может только в случае с нулевым базисом
Верно ли то, что ранг системы строк матрицы на единицу выше ранга системы столбцов?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) это верно только в исключительных случаях
Все элементы одной строки матрицы умножили на одно число. Это значит, что
(1) теперь невозможно найти определитель
(2) это число можно вынести за знак определителя
(3) определитель будет равен единице
Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы. Почему это так?
(1) это объясняется неопределенностью матрицы
(2) это объясняется линейной независимостью столбцов
(3) это следует из того, что матрица не имеет собственных чисел
Является ли разложение матрицы по строке разложением соответствующей транспонированной матрицы по столбцу?
(1) нет, не является
(2) да, является
(3) является только в некоторых частных случаях
Является ли произведение линейных отображений линейных пространств линейным отображением?
(1) только в некоторых случаях
(2) да, является
(3) нет, не может являться линейным отображением
Является ли ассоциативным произведение матриц?
(1) нет, не является
(2) да, является
(3) является только в некоторых случаях
От обратной матрицы взяли обратную, и в результате получили
(1) нулевую матрицу
(2) единичную матрицу
(3) исходную матрицу
Сложение элемента линейного пространства с противоположным ему по знаку элементом даст в результате
(1) единицу
(2) сам элемент
(3) нуль
Линейные пространства являются конечномерными. Могут ли они быть изоморфными?
(1) нет, не могут, так как это противоречит определению изоморфности
(2) не могут, потому что они конечно определены
(3) да, могут
Возможно ли дополнение базиса другими элементами?
(1) нет, это исключено
(2) да, возможно
(3) не имеет практического смысла
Сохраняются ли линейные отношения между столбцами при элементарных преобразованиях строк?
(1) нет, они теряются
(2) да, они сохраняются
(3) это зависит от наличия нулей на побочной диагонали матрицы
Если найдется строка квадратной матрицы, являющаяся линейной комбинацией остальных строк квадратной матрицы, то определитель такой матрицы
(1) больше нуля
(2) меньше нуля
(3) равен нулю
Существует ли в конечномерном линейном пространстве линейный оператор?
(1) это характерно только для бесконечномерного линейного пространства
(2) да, существует
(3) это очень редкий случай, а в целом это невозможно
Меняют ли определитель преобразования первого типа?
(1) да, меняют
(2) нет, не меняют
(3) меняют только в некоторых частных случаях
Какое утверждение из нижеприведенных является правильным?
(1) любое линейное отображение линейных пространств столбцов можно задать матрицей
(2) поворот плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол не является линейным отображением
(3) матрица, задающая линейное отображение столбцов, задается неоднозначно
Операция сложения матриц
(1) дистрибутивна
(2) инъективна
(3) ассоциативна
Специальная линейная группа - это
(1) множество обратимых матриц с операцией умножения
(2) множество необратимых матриц с операцией конъюнкции
(3) множество матриц с единичным определителем с операцией умножения
Подсистема линейно независимой системы
(1) неопределена
(2) линейно независима
(3) детерминирована
Как называется линейное пространство, в котором нет базиса из конечного числа элементов?
(1) бесконечным
(2) неопределенным
(3) бесконечномерным
Существует ли прямое дополнение хотя бы к одному линейному подпространству?
(1) да, существует
(2) нет, это невозможно
(3) все зависит от типа описываемого поля
Совпадают ли в ступенчатой матрице порядок ненулевого минора и число ненулевых строк?
(1) да, совпадают наивысший порядок ненулевого минора
(2) это зависит от наличия нулей на главной диагонали
(3) нет, не совпадают
Симметрия относительно диагонали носит название
(1) детерминирование
(2) транспонирование
(3) детализация
Какое утверждение верно?
(1) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы
(2) все собственные вектора матрицы нулевые
(3) собственные числа матрицы всегда являются комплексными
Если определитель матрицы коэффициентов квадратной системы линейных уравнений равен нулю, то
(1) система имеет только одно решение
(2) система имеет только нулевое решение
(3) система не имеет решений или имеет более одного решения
Выберите неверное утверждение:
(1) задавать отображение над полем действительных чисел может любая прямоугольная матрица
(2) матрица, задающая линейное отображение столбцов, задается неоднозначно
(3) матрица, задающая линейное отображение столбцов, задается однозначно
Удовлетворяют ли операции сложения и умножения матриц законам дистрибутивности?
(1) да, это верно
(2) нет, не удовлетворяют
(3) удовлетворяют только в некоторых случаях
Матрица называется ортогональной тогда, когда
(1) все элементы ниже побочной диагонали равны нулю
(2) транспонированная матрица равна обратной
(3) элементы побочной диагонали противоположны по знаку элементам главной
Эквивалентными называются системы, которые
(1) линейно выражаются друг через друга
(2) равны между собой
(3) имеют общее обозначение
Строки транспонированной матрицы линейно зависимы, определитель транспонированной матрицы равен 0. О чем это говорит?
(1) определитель исходной матрицы равен 1
(2) определитель исходной матрицы равен 0
(3) определитель исходной матрицы равен -1
Все прямые дополнения линейного пространства полиморфны. Верно ли это?
(1) нет, не верно, они ассоциативны
(2) нет, они изоморфны
(3) нет, они гомоморфны
Линейной комбинацией столбцов ступенчатой матрицы, проходящих через уголки ступенек, является
(1) главная диагональ
(2) побочная диагональ
(3) любой столбец
Возможно ли вычислить определитель для матрицы размерностью 2х2?
(1) нет
(2) да, но это не имеет практического применения
(3) возможно во всех случаях
Верно ли то, что корнями характеристического многочлена из поля этого многочлена могут быть любые числа?
(1) да, это верно
(2) нет, утверждение неверно
(3) это зависит от типа многочлена
Чтобы получить определитель квадратной матрицы размерности n, необходимо сложить
(1) n!-1 слагаемых-произведений
(2) 2n!-1 слагаемых-произведений
(3) n! слагаемых-произведений
Если матрица является прямоугольной, то она
(1) может задавать отображение над полем действительных чисел
(2) не может задавать отображения ни над одним полем
(3) не нуждается в задании отображения
Возможно ли определение операции сложения для пространства строк?
(1) нет, так как это противоречит определению
(2) да, возможно и это широко используется
(3) это не имеет практического смысла из-за трудоемкости
Получится ли нулевая матрица в результате возведения другой матрицы в нулевую степень?
(1) нет, не получится
(2) да, получится
(3) не во всех случаях
Относится ли пространство многочленов к линейным пространствам?
(1) нет, не относится
(2) да, относится
(3) зависит от порядка многочлена
Возможно ли получение из ненулевой матрицы больше, чем одной ступенчатой матрицы?
(1) нет, это противоречит определению
(2) да, это возможно
(3) это невозможно из-за ограниченности линейного пространства
Может ли линейное подпространство линейного пространства быть пустым подмножеством?
(1) да, это пустое множество согласно определению
(2) нет, это невозможно
(3) это невозможно только в некоторых специфических случаях, а в остальном верно
Имеет ли проективная размерность подпространства фиксированный размер?
(1) нет, она постоянно меняется
(2) да, она определяется формулой
(3) проективную размерность невозможно определить вообще в поле подпространства
На главной диагонали матрицы 2х2 расположены единицы, а на побочной расположены двойки. Чему равен определитель такой матрицы?
(1) 4
(2) -3
(3) 3
Характерны ли для матриц понятия собственных чисел и векторов?
(1) да, это одни из основных понятий
(2) нет, эти понятия не связаны с матрицами
(3) все зависит от ранга матрицы
Могут ли элементы матрицы быть дифференцируемыми функциями?
(1) нет, не могут по определению
(2) да, могут
(3) неизвестно, так как это не имеет практического смысла
Можно ли производить отображение транспонированной матрицы?
(1) нет, нельзя
(2) да, можно
(3) можно только в некоторых случаях
Возможно ли определение операции сложения для пространства столбцов?
(1) нет, так как это противоречит определению
(2) да, возможно и это широко используется
(3) это не имеет практического смысла из-за трудоемкости
Как называется матрица, которая при умножении на другую матрицу дает единичную матрицу?
(1) обратимая
(2) обратная
(3) транспонированная
Над ненулевой матрицей произведено конечное число элементарных преобразований строк. Может ли результатом оказаться ступенчатая матрица?
(1) нет, это невозможно по определению
(2) да, это вполне возможно
(3) получение ступенчатой матицы таким образом невозможно из-за ограниченности класса матриц
Элементы линейного подмножества линейно независимы. Как они определяются в линейном множестве?
(1) они будут линейно зависимы
(2) они линейно независимы
(3) это невозможно определить, не зная типа описываемого поля и размера подпространства
Верно ли то, что проективная размерность нулевого подпространства равна 0?
(1) да, это верно
(2) нет, неверно, она равна -1
(3) нет, неверно, она равна 1
Для того, чтобы квадратная система линейных уравнений являлась определенной, необходимо, чтобы
(1) элементы главной диагонали были нулями
(2) определитель был отличен от нуля
(3) элементы побочной диагонали отличались по своему значению от нуля
Ненулевые решения системы определяются собственными векторами матрицы относительно собственного числа. Так ли это?
(1) только в исключительно редких случаях
(2) нет, это неверно
(3) да, утверждение верно
Является ли ступенчатая матрица треугольной?
(1) не во всех случаях
(2) да, является
(3) нет, не является
Если пространство для отображения не соответствует условиям отображения, то
(1) отображение производится коммутативно
(2) отображение не производится
(3) отображение производится по принципу дифференциации
Определена ли операция умножения на скаляр для пространства строк?
(1) нет, не определена
(2) да, определена
(3) не может быть определена
Верно ли утверждение, что обратная матрица определяется множественным образом?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) это верно только в некоторых частных случаях
В линейном пространстве операция сложения должна быть коммутативной, а ассоциативность - нет. Так ли это?
(1) правильно обратное
(2) утверждение неверно
(3) да, это верно
Линейное выражение друг через друга строк ступенчатых матриц, образованных из одной ненулевой матрицы
(1) невозможно
(2) возможно
(3) не имеет практического применения
Является ли результат пересечения линейных подпространств также линейным подпространством?
(1) нет, результатом будет нелинейное множество
(2) да, в результате получится линейное подпространство
(3) все зависит от типа поля и содержания пустых элементов в этих подмножествах
Верно ли то, что проективная размерность одномерного подпространства равна единице?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) она не определена для одномерных подпространств
Позволяет ли правило Крамера находить решения квадратных систем уравнений второго порядка?
(1) нет, не позволяет
(2) позволяет лишь в некоторых частных случаях
(3) позволяет всегда, когда определитель не равен нулю
Образует ли линейное подпространство множество всех собственных векторов матрицы относительно собственного числа?
(1) неизвестно
(2) да, образует
(3) нет, не образует
Имеет ли смысл составления функции с базовыми свойствами определителя?
(1) да, этот принцип широко применим
(2) нет, это не имеет применения
(3) это невозможно теоретически
Что принято называть линейным отображением?
(1) отображение из одного линейного пространства в другое
(2) отображение по интерполяционному признаку
(3) детерминизацию отображения
Возможно ли определение операции сложения для пространства прямоугольных матриц?
(1) да, возможно
(2) нет, не возможно
(3) нет, так как это противоречит определению
Можно ли считать верным утверждение о том, что для любого элемента моноида существует не менее двух обратных элементов?
(1) да, так и есть
(2) утверждение верно только в некоторых частных случаях
(3) нет, это неверно
Нейтральный элемент линейного пространства равен нулю. Верно ли это?
(1) нет, это не так
(2) да, это верно
(3) это может быть верно только в пространстве многочленов
Совпадение линейных оболочек строк ступенчатых матриц, образованных из одной ненулевой матрицы, невозможно. Так ли это?
(1) да, это действительно так
(2) нет, утверждение неверно
(3) все зависит от размерности матриц
В линейном пространстве существуют два подпространства. Размерность какого подпространства будет больше,- пересечения или суммы?
(1) сумма
(2) результат пересечения
(3) одинаково
Верно ли то, что точки проективной геометрии имеют нулевую проективную размерность?
(1) нет, это неверно, она равна 1
(2) да, это верно
(3) точки проективной геометрии не имеют проективной размерности
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате
(1) -1
(2) 1
(3) значение, равное квадрату определителя обратной матрицы
Найдется ли во множестве собственных векторов матрицы нулевой вектор?
(1) нет, не найдется
(2) да, найдется
(3) все собственные вектора нулевые
Какую матрицу принято называть треугольной?
(1) матрицу, определитель которой равен единице
(2) матрицу, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю
(3) матрицу, которая не транспонируется
Может ли отображение, задаваемое прямоугольной матрицей, определять линейное преобразование соответствующих линейных пространств столбцов?
(1) нет, это невозможно согласно определению
(2) да, это возможно
(3) нет, это не доказано теоретически, хотя существует мнемоническое правило такого определения
Что является результатом сложения двух матриц?
(1) матрица
(2) число
(3) вектор-строка
Определитель матрицы равен нулю. Верно ли, что матрица, обратная данной тоже будет нулевой?
(1) нет, это неверно
(2) да, так и есть, согласно определению
(3) это верно только в частных случаях
Верно ли, что нейтральный элемент линейного пространства определяется для операции умножения?
(1) да, это верно
(2) нет
(3) это может быть правильно только в некоторых частных случаях
Ступенчатые матрицы образованы из ненулевой матрицы элементарными преобразованиями. Существуют ли лидеры в их строках?
(1) нет, их не может быть, все символы равноправны
(2) да, существуют и занимают главные диагонали матриц
(3) существуют и расположены в одних и тех же столбцах
Два одинаковых подпространства пересекаются в линейном пространстве. В результате получается
(1) нелинейное множество
(2) такое же подпространство
(3) пустое множество
Верно ли то, что проективная размерность двумерного подпространства равна единице?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) она не определена для двумерных подпространств
Возможен ли расчет ориентированной площади выпуклых четырехугольников с помощью теории определителей?
(1) невозможен
(2) теоретически возможен, но на практике связан с рядом трудностей, и потому не применяется
(3) возможен и применяется на практике
Возможно ли образование линейного подпространства всех решений системы добавлением нулевого вектора к множеству всех собственных векторов матрицы?
(1) нет, так как это не соответствует принципу ассоциативности
(2) да, это возможно, это одно из базовых определений
(3) все зависит от того, есть ли на побочной диагонали нули
По своей сути, минор является
(1) определителем
(2) вектором
(3) множеством целых чисел
Можно ли отнести по определению поворот плоскости вокруг точки (0,0) на определенный угол к линейным отображениям?
(1) нет, это противоречит условию коммутативности
(2) да, можно всегда
(3) можно, но только в редких случаях
Существует ли нейтральный элемент в пространстве прямоугольных матриц?
(1) да, это единичная матрица
(2) нет, такого элемента не существует
(3) да, это нулевая матрица
Сумма самого элемента и противоположного ему элемента равна
(1) самому элементу
(2) нулю
(3) единице
Могут ли ступенчатые матрицы, образованные из ненулевой матрицы, являться главными ступенчатыми видами этой ненулевой матрицы?
(1) нет, не могут по определению
(2) это не определено
(3) да, могут
Два одинаковых подпространства складываются в линейном пространстве. В результате получается
(1) нелинейное множество
(2) такое же подпространство
(3) пустое множество
Верно ли то, что прямые проективной геометрии имеют нулевую проективную размерность?
(1) нет, это неверно, она равна 1
(2) да, это верно
(3) прямые проективной геометрии не имеют проективной размерности
Нечетная подстановка определяет
(1) отрицательный знак произведения, которое является частью определителя
(2) наличие нулей в главной диагонали
(3) наличие нулей в побочной диагонали
Характеристический многочлен не имеет действительных корней. В таком случае можно говорить о том, что
(1) у матрицы нет действительных собственных чисел
(2) у матрицы нет собственных векторов
(3) матрица неопределена
Сколько миноров можно определить в квадратной матрице размерностью 3х3?
(1) 3
(2) 6
(3) 9
Поворот плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол является линейным отображением. Определитель матрицы такого поворота равен
(1) 0
(2) -1
(3) 1
Матрица, в которой все элементы - нули, называется
(1) нулевой
(2) пустой
(3) абсолютной
Что является результатом произведения определителя обратной матрицы на определитель исходной?
(1) нулевая матрица
(2) единица
(3) двойка в степени размерности матрицы по строкам
Элемент линейного пространства умножили на единицу. А что получили в результате?
(1) ноль
(2) единицу
(3) сам элемент
Линейная выражаемость систем строк матрицы является транзитивной. Верно ли это утверждение?
(1) нет, неверно, так как она является ассоциативной
(2) нет, утверждение противоречит определению
(3) да, это верно
В линейном пространстве есть два подпространства. Имеет ли значение при пересечении этих подпространств, какое из них будет слева?
(1) да, это очень важно, так как при перестановке получится другой результат
(2) нет, это не имеет значения
(3) перестановку нельзя производить вообще
Верно ли то, что ранг матрицы определяется наивысшим порядком ненулевого минора?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) определению не хватает формализма, оно не может быть верным
Возможно ли вычисление ориентированного объема параллелепипеда с помощью теории определителей?
(1) нет, так как может не хватить понятийной базы
(2) этот процесс очень трудоемкий и потому не имеет применения
(3) да, возможно и довольно просто реализуется
Матрица 2х2 состоит из нулей в главной диагонали, 1 и -1 в побочной. Правильно ли то, что собственные числа такой матрицы мнимые?
(1) нет, утверждение не верно, они действительные
(2) да, это так
(3) это зависит от поля, в котором рассматривается матрица
Если отображения матриц в одно пространство равны, то отображаемые матрицы
(1) различны
(2) равны
(3) могут быть как равными, так и различными
Результатом умножения матрицы размерностью 2х3 на матрицу размерностью 3х2 будет
(1) матрица размерностью 2х2
(2) матрица размерностью 3х3
(3) матрица размерностью 6х6
Верно ли утверждение, что матрица, имеющая правую обратную, обратима?
(1) нет, это противоречит определению
(2) да, это верно
(3) это может быть верно только в очень редких случаях
Сумму двух элементов линейного пространства умножают на число. Правильно ли то, что результатом будет сумма двух произведений?
(1) нет, это не так
(2) да, это верно
(3) это правило работает только в частных условиях
Верно ли то, что разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами ступенчатых матриц, образованных из ненулевой матрицы не совпадают?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) это зависит от порядка рассматриваемых матриц
Допустимы ли над пространствами одновременные операции сложения и пересечения?
(1) нет, это невозможно вообще
(2) да, это вполне осуществимо
(3) это невозможно сделать одним действием
Верно ли то, что число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы больше, чем ранг матрицы ровно на единицу?
(1) да, это верно
(2) нет, это не так, они совпадают
(3) это зависит от порядка матрицы
Если поменять две строки матрицы местами, то
(1) невозможно будет вычислить определитель
(2) определитель поменяет знак
(3) определитель станет равен нулю
Могут ли две матрицы иметь общий собственный вектор?
(1) да, могут
(2) нет, это исключено
(3) это возможно только в очень редких случаях, когда матрицы имеют нули в главных диагоналях
Алгебраическое дополнение элемента первой строки и четвертого столбца матрицы равно 9. Чему равен минор этого элемента?
(1) -9
(2) 9
(3) 3
Верно ли то, что матрица, задающая любое отображение линейных пространств столбцов, определяется множественно?
(1) нет, она единственна
(2) да, это верно
(3) это верно только в некоторых случаях
Ненулевые элементы, произведение которых равно нулю, называют
(1) идентификаторы
(2) делители нуля
(3) нулевые символы
Верно ли то, что произведение элемента линейного пространства на нуль дает в результате нуль?
(1) нет, неверно
(2) верно всегда
(3) может быть верно только в отдельных случаях
Главный ступенчатый вид определяется выражением неизвестных переменных через свободные однозначно. Верно ли это?
(1) да, это верно
(2) нет, утверждению не хватает конкретизма
(3) правильность этого утверждения зависит от ранга матрицы
Существует ли хотя бы одна линейно независимая подсистема в линейной оболочке некоторого подмножества линейного пространства?
(1) нет, это невозможно по определению
(2) да, существует и не одна
(3) все подсистемы являются зависимыми, но существование независимых подсистем возможно теоретически
Может ли ранг системы столбцов матрицы быть равен рангу системы строк матрицы?
(1) да, это так и есть
(2) нет, это невозможно
(3) это то возможно только в очень редких случаях
Умножение определителя на 0 дает в результате
(1) 0
(2) 1
(3) -1
Могут ли собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, быть линейно независимыми?
(1) нет, это исключено
(2) да, это возможно
(3) это возможно в очень редких частных случаях
Является ли разложение матрицы по столбцу разложением соответствующей транспонированной матрицы по строке?
(1) да, является, но обратное неверно
(2) является всегда
(3) не является никогда
Получится ли линейное отображение в результате произведения линейных отображений линейных пространств?
(1) да, получится
(2) нет, это невозможно
(3) это возможно только в некоторых специфических случаях
Квадратные матрицы пространства прямоугольных матриц относительно операции умножения являются
(1) полиномом
(2) моноидом
(3) индикатором
Множество обратимых матриц с операцией умножения является
(1) детерминированной группой
(2) линейной группой
(3) интерпретационной группой
Умножение отрицательного элемента линейного пространства на -1 даст в результате
(1) положительный элемент
(2) -1
(3) отрицательный элемент
Каждое линейное пространство над каким-либо полем изоморфно линейному пространству строк. Верно ли это?
(1) да, утверждение верно
(2) нет, это неверно
(3) все зависит от класса и порядка матрицы
Базис можно дополнять элементами. А с каждым ли базисом можно это сделать?
(1) утверждение неверно, дополнение базиса невозможно
(2) да, это можно сделать с любым базисом
(3) нет, не с каждым, только с определяемыми базисами
Элементарные преобразования 1-го и 2-го типа для строк являются необратимыми. Так ли это?
(1) да, это так
(2) нет, это неверно
(3) они могут быть как обратимыми, так и необратимыми
Определитель квадратной матрицы может быть равен нулю тогда, когда
(1) есть строка, являющаяся линейной комбинацией остальных строк
(2) все элементы квадратной матрицы равны нулю
(3) сумма элементов главной диагонали больше нуля
Нормальная жорданова форма матрицы определяется
(1) множественным образом
(2) однозначно
(3) комплексными числами
Определитель матрицы, у которой справа от главной диагонали нули, равен
(1) нулю
(2) произведению элементов главной диагонали
(3) произведению элементов побочной диагонали
Из нижеприведенных утверждений выберите правильное:
(1) главная диагональ матрицы поворота плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол содержит косинусы
(2) главная диагональ матрицы поворота плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол содержит синусы
(3) матрица, задающая линейное отображение столбцов, задается неоднозначно
Что является результатом произведения матрицы на единицу?
(1) единица
(2) исходная матрица
(3) ноль
Линейное пространство с конечным базисом называется
(1) неопределенным пространством элементов
(2) конечномерным линейным пространством
(3) законченным линейным базисом
В каком случае линейное пространство может быть бесконечномерным?
(1) тогда, когда оно не имеет нулевых элементов
(2) когда оно является пространством прямоугольных матриц
(3) когда в нем нет базиса из конечного числа элементов
Прямое дополнение подпространства является
(1) пустым множеством
(2) линейным подпространством
(3) нелинейным подпространством
Все миноры, порядок которых больше числа ненулевых строк
(1) ненулевые
(2) нулевые
(3) неопределенные
При переходе от исходной матрицы к транспонированной матрице
(1) элементы главной диагонали заменяют нулями
(2) элементы побочной диагонали заменяют нулями
(3) строки и столбцы меняют местами
Найдите неверное утверждение:
(1) теорема Гамильтона Кэли является следствием теоремы о жордановой нормальной форме
(2) нормальная жорданова форма матрицы определена однозначно
(3) матрица не может одновременно иметь и собственные числа, и собственные вектора
Если квадратная система линейных уравнений имеет более чем одно решение, то определитель матрицы ее коэффициентов
(1) равен нулю
(2) равен единице
(3) невозможно определить
Какое из нижеприведенных утверждений неверно?
(1) отображение из одного линейного пространства в другое линейное пространство называется линейным преобразованием
(2) отображение, задаваемое прямоугольной матрицей, определяет линейное преобразование соответствующих линейных пространств столбцов
(3) поворот плоскости вокруг точки (0,0) на некоторый угол не является линейным отображением
Производится транспонирование произведения матриц. В результате получается
(1) произведение транспонированных матриц
(2) произведение транспонированных матриц, но в обратном порядке
(3) единичная матрица
Верно ли то, что матрица является ортогональной тогда, когда ее транспонированная матрица равна обратной?
(1) да, это верно
(2) нет, это неверно
(3) это может быть верно только в частных случаях
Две эквивалентные конечные линейно независимые системы в линейном пространстве содержат
(1) равное число элементов
(2) различное число элементов
(3) как равное, так и различное число элементов
Возможна ли интерпретация матрицы путем перехода от второго базиса к первому?
(1) нет, это противоречит правилу интерпретации
(2) да, это вполне возможно
(3) правильным будет только обратное утверждение
Все прямые дополнения линейного пространства имеют фиксированную размерность. Так ли это?
(1) да, это так
(2) нет, это не так
(3) это противоречит определению, хотя теоретически это может быть правильно
Теорема Кронекера-Капелли определяет
(1) критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц
(2) полную линейную независимость элементов матрицы в контекстном плане
(3) несовместность частичных неформальных определений, задающих ранг матрицы