Главная / Образование / Введение в проективную геометрию для школьников

Введение в проективную геометрию для школьников - ответы на тесты Интуит

Правильные ответы выделены зелёным цветом.
Все ответы: Курс дает краткое введение в проективную геометрию для школьников. Этот курс читался на летней компьютерной школе для участников олимпиад по информатике.
Смотрите также:
Математика
Уравнение прямой на плоскости имеет вид:
(1) ax+by+c=0
(2) ax+by+dz+c=0
(3) ax-by+c=0
Точке (5,6) на проективной плоскости z=1 в евклидовом пространсве соответствует точка
(1) (1,5,6)
(2) (2,5,6)
(3) (3,5,6)
(4) (4,5,6)
Если прямые пересекаются в точке, то для нахождения ее координат необходимо знать уравнения минимум
(1) одной прямой
(2) двух прямых
(3) трех прямых
Прямой 5x+y-3=0 на проективной плоскости соответствует набор
(1) (-3:5:1)
(2) (-5:5:3)
(3) (-5:3:-5)
В наборе чисел (a,b,c), задающем вектор в пространстве R3, каждое число является
(1) скалярным произведением остальных чисел набора
(2) координатой вектора по соответствующей оси
(3) векторным произведением остальных чисел набора
Верно ли утверждение: любой паре (x:y) на проективной плоскости можно поставить в соответствие набор, описывающий точку трехмерного пространства?
(1) неверно
(2) верно
(3) верно лишь в некоторых случаях
Скалярное произведение векторов - это
(1) вектор
(2) число
(3) прямая
Набор (0:a:b) описывает
(1) бесконечно удаленную точку
(2) обычную точку двумерного евклидова пространства
(3) обычную точку на проективной плоскости
Если первый вектор задается координатами (1,2,3), а второй - (4,5,6), то их скалярное произведение равно:
(1) 32
(2) 16
(3) 18
(4) 42
Через бесконечно удаленную точку и обычную точку трехмерного евклидова пространства
(1) невозможно провести прямую
(2) всегда можно провести прямую
(3) можно провести прямую при наличии строгих ограничений
Векторное произведение векторов - это
(1) число
(2) вектор
(3) набор чисел
(4) набор векторов
Множество точек В, таких, что скалярное произведение векторов с концами в этих точках, а началами в центре окружности, и произвольного вектора, выходящего из центра окружности, равно R2, называется
(1) поляром
(2) скаляром
(3) вектором
Модуль векторного произведения двух векторов равен
(1) произведению модулей векторов на косинус угла между ними
(2) произведению длин векторов на косинус угла между ними
(3) произведению длин векторов на синус угла между ними
Для проведения касательных к окружности, проведенных из одной точки, достаточно знать
(1) координаты точек пересечения поляра и данной окружности
(2) координаты всех точек проективной плоскости
(3) координаты всех бесконечно удаленных точек
Определитель матрицы \mathbf{A}= \left( \begin{array}{ccc} i & j & k & \\ a & b & c & \\ d & e & f & \end{array} \right) где i, j, k - единичные векторы, (a,b,c), (d,e,f) - координаты векторов x и z соответственно, является
(1) векторным произведением этих векторов
(2) математической абстракцией, устанавливающей правило вычисления векторного произведения векторов
(3) скалярным произведением векторов
Матрица, осуществляющая поворот точки на некоторый угол, называется
(1) матрицей поворота
(2) матрицей растяжения
(3) матрицей разворота
Точка с координатами (1,0,0) задает на проективной плоскости z=1 точку
(1) (1,1,1)
(2) (0,0)
(3) (1,1)
Использование матриц в операциях поворота объекта на некоторый угол, сдвига на некоторый вектор обусловлено
(1) необходимостью
(2) удобством, простотой применения
(3) исторически сложившимися канонами
Множество точек пересечения двух плоскостей является
(1) отрезком
(2) прямой
(3) ломаной
Параллельные прямые на проективной плоскости
(1) имеют одну общую бесконечно удаленную точку
(2) не имеют общих точек
(3) имеют общие точки, не являющиеся бесконечно удаленными
Прямая, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется
(1) бесконечной прямой
(2) проективной прямой
(3) спроектированной прямой
Каждая плоскость в проективной геометрии содержит
(1) одну бесконечно удаленную точку
(2) бесконечно много различных бесконечно удаленных точек
(3) три бесконечно удаленные точки
Пространство, дополненное бесконечно удаленной плоскостью, называется
(1) бесконечным пространством
(2) проективным пространством
(3) плоскостным пространством
Прямая, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется
(1) бесконечной прямой
(2) проективной прямой
(3) плоскостной прямой
Уравнение прямой в R3 имеет вид:
(1) ax+by+dz+c=0
(2) ax+by+c=0
(3) ax-by+c=0
Точке (2,4,6) обычного евклидова пространства на проективной плоскости z=2 соответствует точка
(1) (1,1)
(2) (1,2)
(3) (2,3)
(4) (3,4)
Для нахождения точки пересечения двух прямых ax1+by1+c1=0 и ax2+by2+c2=0 необходимо решить
(1) совокупность уравнений, задающих данные прямые
(2) систему уравнений, задающих данные прямые
(3) одно из уравнений, задающих данные прямые
Набор чисел (c:b:a) на проективной плоскости в координатах аналитической геометрии задает прямую
(1) ax+by+c=0
(2) ax+bx+c=0
(3) ay+by+c=0
Допустимыми операциями над векторами являются
(1) сложение векторов
(2) скалярное произведение векторов
(3) векторное произведение векторов
(4) умножение вектора на число
Верно ли утверждение: любой точке (x:y:z) трехмерного простарнства можно поставить в соответствие точку на проективной плоскости?
(1) неверно
(2) верно лишь иногда
(3) верно
Число, равное произведению модулей двух векторов на косинус угла между ними, называется
(1) скалярным произведением векторов
(2) векторным произведением векторов
(3) определителем векторов
Бесконечно удаленная точка
(1) является обычной точкой двумерного евклидова пространства, и ее можно изобразить на плоскости
(2) является математической абстракцией, и ее невозможно изобразить на плоскости
(3) является обычной точкой проективной плоскости, и ее можно изобразить на плоскости
Если длина первого вектора равна 2, длина второго равна 3, а косинус угла между векторами равен 0,5, то скалярное произведение векторов равно
(1) 3
(2) 2
(3) 12
Прямую можно провести через
(1) две точки обычного трехмерного евклидова пространства
(2) точку обычного трехмерного евклидова пространства и бесконечно уделенную точку
(3) одну точку обычного трехмерного евклидова пространства
Результат векторного произведения векторов
(1) перпендикулярен исходным векторам
(2) параллелен исходным векторам
(3) коллинеарен исходным векторам
Поляр - это
(1) прямая
(2) вектор
(3) точка
В аналитической геометрии существует понятие
(1) левой тройки векторов
(2) правой тройки векторов
(3) центральной тройки векторов
Для вывода уравнений касательных к окружности, проведенных из данной точки (a,b,c) в проективной геометрии, достаточно
(1) первую координату точки умножить на квадрат радиуса окружности
(2) вторую координату точки умножить на квадрат радиуса окружности
(3) третью координату точки умножить на квадрат радиуса окружности
Определитель матрицы \mathbf{A}= \left( \begin{array}{ccc} i & j & k & \\ a & b & c & \\ d & e & f & \end{array} \right) где i, j, k - единичные векторы, (a,b,c), (d,e,f) - координаты векторов x и z соответственно, является
(1) разложением векторного произведения этих векторов по координатным осям
(2) скалярным произведением векторов
(3) разложением скалярного произведения этих векторов по координатным осям
В проективной геометрии в дополнение к операциям аналитической геометрии, с помощью матрицы поворота осуществляется
(1) операция растяжения обекта
(2) операция сдвига объекта на некоторый вектор
(3) операция разворота объекта
Точке на проективной плоскости z=1 с координатами (x,y) в обычном трехмерном пространстве соответствует точка
(1) (x,y)
(2) (0,0)
(3) (1,x,y)
Для сокращения времени вычислений, их агрегирования и упрощения в операциях поворота объекта на некоторый угол, сдвига на некоторый вектор и др. используются
(1) векторы
(2) графики
(3) матрицы
Две плоскости в проективной геометрии пересекаются по
(1) прямой
(2) ломаной
(3) отрезку
На проективной плоскости одну общую бесконечно удаленную точку имеют
(1) непараллельные прямые
(2) параллельные прямые
(3) все прямые
Проективной прямой называется:
(1) прямая, дополненная бесконечно удаленной точкой
(2) прямая аналитической геометрии
(3) точка на проективной плоскости
Совокупность всех бесконечно удаленных точек плоскости называется
(1) бесконечно удаленной совокупностью
(2) бесконечно удаленной точкой
(3) бесконечно удаленной прямой
Проективным пространством называется
(1) пространство, дополненное бесконечно удаленной плоскостью
(2) пространство, дополненное бесконечно удаленной точкой
(3) пространство, дополненное бесконечно удаленной прямой
Совокупность всех бесконечно удаленных точек пространства называется
(1) прямой
(2) плоскостью
(3) облаком
Уравнение вида ax+by+c=0 на плоскости задает
(1) точку
(2) прямую
(3) систему точек
(4) систему прямых
Точке (3,2,3) евклидова пространства R3 на проективной плоскости z=3 соответствует точка
(1) (2/3,3/2)
(2) (2/3,1)
(3) (1,2/3)
(4) (1,1)
Решение системы уравнений, задающих две прямые на плоскости, является
(1) точкой, равноудаленной от обеих прямых
(2) точкой пересечения прямых
(3) нормальным вектором к обеим прямым
Прямая y=5x+2 в проективных координатах запишется как
(1) (2:5:-1)
(2) (2:-5:-1)
(3) (5:-2:-1)
Над векторами недопустима операция
(1) точечного произведения
(2) скалярного произведения
(3) векторного произведения
Верно ли утверждение: координатам точки на проективной плоскости взаимно однозначно соответствуют координаты точки евклидова трехмерного пространства
(1) верно
(2) неверно лишь иногда
(3) неверно
Число, равное сумме попарных произведений координат двух векторов, называется
(1) скалярным произведением векторов
(2) векторным произведением векторов
(3) определителем векторов
Изображение бесконечно удаленной точки на плоскости в двумерном декартовом пространстве
(1) невозможно
(2) возможно
(3) возможно лишь иногда
Если скалярное произведение векторов равно нулю, то вектора
(1) параллельны
(2) перпендикулярны
(3) коллинеарны
Точка и прямая в проективной геометрии
(1) тождественны
(2) различаются
(3) обладают одинаковыми свойствами
Векторное произведение двух векторов равно
(1) произведению модулей векторов на синус угла между ними
(2) произведению модулей векторов на косинус угла между ними
(3) скалярному произведению векторов
При построении поляра вычисляется
(1) скалярное произведение векторов
(2) векторное произведение векторов
(3) смешанное произведение векторов
Определение правой тройки векторов необходимо при вычислении
(1) векторного произведения векторов
(2) скалярного произведения векторов
(3) сложения векторов
Тройка чисел, характеризующая точку трехмерного евклидова пространства, в которой первая координата умножена на 4, задает на проективной плоскости
(1) касательную к окружности радиуса 4, проведенную из данной точки
(2) касательную к окружности радиуса 2, проведенную из данной точки
(3) касательную к окружности радиуса 16, проведенную из данной точки
Выражению "результат векторного произведения векторов" соответствует понятие:
(1) вектор
(2) число
(3) вектор или число
Операция сдвига объекта на некоторый вектор в проективной геометрии осуществляется с помощью
(1) матрицы разворота
(2) матрицы поворота
(3) вектора поворота
Набору чисел (a1,a2,a3) на проективной плоскости соответствует точка
(1) (a1/a2,a3/a2)
(2) (a1/a2,a3/a1)
(3) (a2/a1,a3/a1)
При выполнении операций над объектами, задаваемых матрицами A1... An оптимальным будет
(1) последовательное умножение координат объектов на матрицы
(2) нахождение преобразованных координат первого объекта, затем, основываясь на них, найти координаты остальных
(3) сначала вычислить произведение всех матриц преобразования, затем умножать на него координаты объектов
В проективной геометрии прямая есть
(1) бесконечная разомкнутая линия
(2) замкнутая бесконечная линия
(3) замкнутая конечная линия
Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых
(1) различны
(2) совпадают
(3) не существуют
Плоскость, дополненная бесконечно удаленной прямой, называется
(1) бесконечной плоскостью
(2) проективной плоскостью
(3) прямой плоскостью
Бесконечно удаленной прямой называется
(1) совокупность всех бесконечно удаленных точек плоскости
(2) любая прямая плоскости
(3) совокупность нескольких бесконечно удаленных точек плоскости
На проективной плоскости через две точки можно провести
(1) ровно одну прямую
(2) ровно две прямых
(3) бесконечно много прямых
В проективной геометрии в пространстве не существует понятия
(1) точки
(2) прямой
(3) плоскости