Главная / Алгоритмы и дискретные структуры / Введение в математическое программирование

Введение в математическое программирование - ответы на тесты Интуит

Правильные ответы выделены зелёным цветом.
Все ответы: Курс рассматривает задачи математического моделирования, их признаки и свойства, а также целесообразность и область применения.

Смотрите также:

Математика

В каком методе поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которой в случае успеха следует поиск по образцу.

(1) метод Нелдера – Мида

(2) метод градиентного спуска

(3) метод покоординатного спуска

(4) метод Хука – Дживса

В чем состоит основная идея метода градиентного спуска?

(1) двигаться к минимуму в направлении наиболее быстрого убывания функции, определяемого антиградиентом

(2) осуществлять поиск из заданной точки в направлении, параллельном одной из осей, до точки минимума в данном направлении

(3) сравнить значения функции в n + 1 вершинах симплекса и переместить симплекс в направлении оптимальной точки с помощью итерационной процедуры

Функция f(x) является выпуклой на выпуклой области X, если для всех x₁, x₂ ∈ X выполняется соотношение:

(1) f[θx₂+(1–θ)x₁]≥θf(x₂)+(1–θ)f(x₁) при 0 < θ < 1

(2) f[θx₂+(1–θ)x₁]≤θf(x₂)+(1–θ)f(x₁) при 0 < θ < 1

(3) f[θx₂+(1–θ)x₁]>θf(x₂)+(1–θ)f(x₁) при 0 < θ < 1

Пусть ограничения в задаче имеют вид чистых неравенств: math

. Тогда согласно метода Кэррола присоединенная функция имеет вид:

(1)

(2)

(3)

Общая форма задачи линейного программирования имеет вид:

(1)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \le 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \le 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \le 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

Пусть ограничения задачи линейного программирования записаны в виде: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n+A_n+1x_n+1+...+A_n+mx_n+m=A₀, где А₁,...,А_m – множество линейно независимых векторов. Согласно симплекс – метода, базисное решение math

определяется уравнением:

(1)

(2)

(3)

Если x₀ и y₀ – допустимые решения прямой и двойственной задач, т.е. Ax₀≤b и A^Ty₀≥c, то:

(1) c^Tx₀≥b^Ty₀

(2) c^Tx₀<b^Ty₀

(3) c^Tx₀≤b^Ty₀

В отличии от прямого симплекс – метода, двойственный симплекс – метод:

(1) требует нахождения начального базисного решения

(2) не требует нахождения начального базисного решения

(3) требует дополнительного исследования начального базисного решения

Функция f(x) достигает локального максимума в точке math

, если для всех точек x, лежащих в малой окрестности точки math

имеет место неравенство:

(1)

(2)

(3)

Функция f(x) является строго квазивыпуклой, если для всех действительных x₁, x₂ таких, что f(x₁) ≠ f(x₂) и λ є (0;1) выполняется неравенство:

(1) f(λx₁ + (1–λ)x₁) > max{f(x₁),f(x₂)}

(2) f(λx₁ + (1–λ)x₁) ≤ max{f(x₁),f(x₂)}

(3) f(λx₁ + (1–λ)x₁) < max{f(x₁),f(x₂)}.

Согласно методу Ньютона, точка экстремума равна:

(1)

(2)

(3)

Чему будет равняться функция в точке образа, если базисная точка b₁ = 2, а b₂ = 5?

(1) 8

(2) 6

(3) 3

(4) 2

Одно из свойств метода наискорейшего спуска гласит о том, что если направление градиента является направлением наискорейшего возрастания функции, то противоположное направление:

(1) является направлением наискорейшего убывания функции

(2) также является направлением наискорейшего возрастания функции

(3) остается неизменным

Можно ли при наличии ограничения использовать критерии оптимальности безусловной оптимизации?

(1) да

(2) нет

При использовании методов внутренней точки текущая точка постоянно находится

(1) внутри допустимой области

(2) за допустимой областью

(3) на границе допустимой области

Каноническая форма задачи линейного программирования имеет вид:

(1)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax \le b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

Пусть уравнение

A_1x^*_1 + A_2x^*_2 +\ldots + A_n x^*_n + A_{n+1} x^*_{n+1} +\ldots + 
A_{n+m}x^*_{n+m} = A_0

определяет базисное решение math

. Предположим, что это решение допустимо, т.е. math

. Если А_r не входит в базис, то:

(1) A₁x_1r+A₂x_2r+...+A_mx_mr ≥ A_r

(2) A₁x_1r+A₂x_2r+...+A_mx_mr = A_r

(3) A₁x_1r+A₂x_2r+...+A_mx_mr ≤ A_r

Если x₀ и y₀ – допустимые решения прямой и двойственной задач, и кроме того, c^Tx₀=b^Ty₀, то:

(1) x₀ и y₀ – оптимальные решения пары прямых задач

(2) x₀ и y₀ – оптимальные решения пары двойственных задач

(3) x₀ и y₀ – оптимальные решения прямой и двойственной задач

Если x' и y' – допустимые решения пары двойственных задач и при этом выполняется равенство Σc_jx'_j+Σc_j(x'_j–x'_j+n2) = Σb_iy'_i + Σb_i(y'_i–y'_i+m2), то x' и y':

(1) оптимальные решения прямой задачи

(2) оптимальные решения двойственной задачи

(3) оптимальные решения пары двойственных задач

Множество точек S₁(x₁,...,x_n) функции f(x) называется множеством стационарных точек, если они удовлетворяют условию:

(1) ∂f(x)/∂x_j ≥ 0, j=1,...,n

(2) ∂f(x)/∂x_j < 0, j=1,...,n

(3) ∂f(x)/∂x_j = 0, j=1,...,n

Пусть функция f(x) определена на непустом и выпуклом множестве R. Функция f(x) квазивыпукла, если для любых x₁, x₂ є R и λ є [0;1] выполняется неравенство:

(1) f(λx₁ + (1–λ)x₁) ≤ max{f(x₁),f(x₂)}

(2) f(λx₁ + (1–λ)x₁) ≥ max{f(x₁),f(x₂)}

(3) f(λx₁ + (1–λ)x₁) ≤ min{f(x₁),f(x₂)}

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой производной. Если в точке экстремума x' функция F(x) имеет минимум, то производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с отрицательного на положительный, т.е. F'(x) является возрастающей функцией, значит:

(1) F''(x)=0

(2) F''(x)>0

(3) F''(x)<0

Известно что x₀ = 3, x_r = 4, x_h = 2. Чему будет равен коэффициент отражения α?

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) -1

Согласно какому методу после вычисления в начальной точке градиента функции делают в направлении антиградиента не маленький шаг, а движутся до тех пор, пока функция убывает?

(1) метода Нелдера – Мида

(2) метода градиентного спуска

(3) метода покоординатного спуска

(4) метода наискорейшего спуска

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-2)²→min, без ограничения?

(1) 2

(2) 4

(3) 8

Метод последовательной безусловной оптимизации относиться к...?

(1) непараметрическим методам

(2) условным методам

(3) безусловным методам

(4) параметрическим методам

Стандартная форма задачи линейного программирования имеет вид:

(1)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax \ge b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

Пусть уравнение

A_1 x^*_1 + A_2x^*_2 +\ldots + A_n x^*_n + A_{n+1} x^*_{n+1} +\ldots + 
A_{n+m}x^*_{n+m} = A_0

определяет базисное решение math

. Обозначим решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ как math

. Тогда связь нового решения math

со старым базисным решением math

выражается следующими соотношениями:

(1)

x'_1 = x^*_1 + x_r x_{1r}; x'_2 = x^*_2 + x_r x_{2r}; \ldots ; x'_m = x^*_m + x_r x_{mr}, x_r

(2)

x'_1 = x^*_1 - x_r x_{1r}; x'_2 = x^*_2 - x_r x_{2r}; \ldots ; x'_m = x^*_m - x_r x_{mr}, x_r

(3)

x'_1 = x_r x_{1r} - x^*_1; x'_2 = x_r x_{2r} - x^*_2; \ldots ; x'_m = x_r x_{mr} - x^*_m, x_r

Пусть дана прямая задача: максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при ограничениях Σa_ijx_j≤b, i=1,...,m, x_j≥0, j=1,...,n. Если в оптимальном решении данной задачи i–е ограничение выполняется как неравенство, то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной:

(1) положительно

(2) неотрицательно

(3) равно нулю

Пусть задача линейного программирования задана в канонической форме: максимизировать L(x) = Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях ΣA_jx_j = b, j=1,...,n, x_j ≥ 0. Предположим, что n ≥ m и ранг матрицы A равен m. Тогда двойственная задача имеет вид:

(1) минимизировать math

при условиях math

(2) максимизировать math

при условиях math

(3) минимизировать math

при условиях math

Пусть f(x₁,...,x_n) дифференцируема в некоторой допустимой области R. Если в некоторой внутренней точке math

области R функция достигает относительного максимума, то:

(1) ∂f(x₀)/∂x_j = 0, j=1,...,n

(2) ∂f(x₀)/∂x_j ≠ 0, j=1,...,n

(3) ∂f(x₀)/∂x_j ≤ 0, j=1,...,n

Пусть f(x) – строго квазивыпуклая функция. Рассмотрим задачу минимизации f(x) при условии, что x є R, где R – непустое выпуклое множество в Е⁽ⁿ⁾. Пусть x' – точка локального минимума рассматриваемой задачи. Тогда x' является:

(1) точкой глобального минимума

(2) точкой относительного минимума

(3) точкой глобального максимума

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), следовательно, ее первая производная монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет максимум, то производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с положительного на отрицательный, т.е. F'(x) является убывающей функцией, значит:

(1) F''(x) > 0

(2) F''(x) < 0

(3) F''(x) = 0

Если при проверке сходимости а < σ, то это означает?

(1) все значения функции очень далеки друг от друга

(2) все значения функции очень близки друг к другу

(3) все значения функции одинаковы

(4) все значения функции различны

Какие функции принято считать многоэкстремальными?

(1) функции с двумя локальными минимумами

(2) Функция Розенброка

(3) функции многих градиентов

(4) Функция Пауэлла

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-4)²→min, с ограничением х≥4?

(1) 2

(2) 4

(3) 8

При использовании методов внутренней точки текущая точка постоянно находится внутри допустимой области с помощью штрафной функции, которая в этом случае называется?

(1) стартовой

(2) барьерной

(3) финишной

(4) выпуклой

Задачу линейного программирования можно сформулировать:

(1) максимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(2) минимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(3) минимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \ge b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \ge b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \ge b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

Пусть уравнение

A_1 x^*_1 + A_2x^*_2 +\ldots + A_n x^*_n + A_{n+1} x^*_{n+1} +\ldots + 
A_{n+m}x^*_{n+m} = A_0

определяет базисное решение math

. Новое решение math

базисное решение связано со старым базисным решением math

соотношениями: math

. Данное решение будет допустимым, если:

(1)

(2)

(3)

Если в оптимальном решении двойственной задачи ограничение j выполняется как строгое неравенство, то оптимальное решение соответствующей переменной прямой задачи:

(1) равно нулю

(2) неотрицательно

(3) положительно

Сопряженным базисом называется такая система из m линейно - независимых векторов матрицы ограничений прямой задачи math

, для которой базисное решение y соответствующей системы линейных уравнений вида math

, удовлетворяет ограничениям:

(1)

(2)

(3)

Функция f(x) достигает глобального (абсолютного) максимума в точке x⁰, если для всех точек x є R справедливо:

(1) f(x⁰) = f(x)

(2) f(x⁰) ≤ f(x)

(3) f(x⁰) ≥ f(x)

Пусть задана задача нелинейного программирования: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях h₁(x₁,...,x_n) = 0; h₂(x₁,...,x_n) = 0; ............... h_m(x₁,...,x_n) = 0. Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи. Если ранг матрицы I = [δh_j(x)/δx_j], i = 1,...,m; j = 1,...,n в точке x* равен m, то существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых:

(1) ∇f(x*) + Σλ_i∇h_i(x) = 0, i = 1,...,m

(2) ∇f(x*) + Σλ_i∇h_i(x) ≥ 0, i = 1,...,m

(3) ∇f(x*) + Σλ_i∇h_i(x) < 0, i = 1,...,m.

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой производной. Известно, что если функция F(x) имеет локальный минимум (максимум) в точке x', то в этой точке градиент функции F(x):

(1) отрицателен

(2) положителен

(3) равен нулю

Если при проверке сходимости а < σ, то это означает?

(1) все значения функции очень далеки друг от друга

(2) все значения функции очень близки друг к другу

(3) все значения функции одинаковы

(4) все значения функции различны

Найти решение задачи f(x)=(x₁-2)⁴+(x₁+2x₂)² → min, x⁽⁰⁾=(0,3)^T методом Коши.

(1) x = (1,00, 2,00)

(2) x = (3,00, 1,00)

(3) x = (2,00, 1,00)

Пусть требуется изготовить 180 деталей. Их можно изготовить двумя технологическими способами: 1 способ: 4х₁+х₁², 2 способ: 8х₂+х₂². Затраты связаны функциональной зависимостью. Сколько изделий может быть изготовлено каждым способом?

(1) x₁=91, x₂=89

(2) x₁=113, x₂=67

(3) x₁=98, x₂=82

К какой группе относиться метод штрафных функций?

(1) к группе методов внутренней точки

(2) к группе методов внешней точки

(3) к группе комбинированных методов

Задачу линейного программирования в канонической форме можно сформулировать:

(1) максимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(2) максимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(3) минимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

Пусть новое решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ имеет вид math

, и при этом выполняется соотношение math

, т.е. данное решение является допустимым. Чтобы данное решение являлось базисным, необходимо:

(1) вывести переменную x_i из базисного решения, а соответствующий вектор – из базиса

(2) ввести дополнительную переменную x_i в базисное решение, а соответствующий вектор – в базис

(3) вывести переменную x_i из базисного решения, и ввести дополнительный вектор в базис

Прямая и двойственная задачи имеют оптимальные решения тогда и только тогда, когда:

(1) они обе имеют допустимые решения

(2) прямая задача имеет допустимое решение

(3) двойственная задача имеет допустимое решение

n–мерный вектор x, для которого x_i=x_i0 при i є Iδ, и x_j=0 при i ∉ Iδ является псевдопланом тогда и только тогда, когда:

(1) Δj = 0, j=1,...,n;

(2) Δj ≥ 0, j=1,...,n;

(3) Δj ≤ 0, j=1,...,n;

Пусть R – выпуклое множество точек n – мерного пространства. Функция f, определенная на R, называется выпуклой верх, если для любой пары точек x₁, x₂ є R и произвольного 0 ≤ k ≤ 1 справедливо:

(1) f[kx₁+(1–k)x₂] = kf(x₁)+(1–k)f(x₂);

(2) f[kx₁+(1–k)x₂] < kf(x₁)+(1–k)f(x₂)

(3) f[kx₁+(1–k)x₂] ≥ kf(x₁)+(1–k)f(x₂).

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: минимизировать f(x) при math

. Для входящего вектора справедливы следующие условия: math

или

для всех x є S. Тогда множество неотрицательных скаляров {λ_i} ≥ 0, для которых справедливо соотношение:

(1) Δf(x^*)=Σλ_iη_i(x) = -Σλ_iΔg_i(x^*), i є I

(2) Δf(x^*)=-Σλ_iη_i(x) = Σλ_iΔg_i(x^*), i є I

(3) Δf(x^*)=-Σλ_iη_i(x) = -Σλ_iΔg_i(x^*), i є I

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Для нахождения экстремума функции F(x) методом Ньютона начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], где знаки функции f(x) и ее кривизны f''(x):

(1) совпадают

(2) не совпадают

(3) строго отрицательны

Чему будет равняться коэффициент растяжения γ, если известно, что x₀ = 3, x_e = 5, x_r = 2?

(1) 2

(2) -3

(3) -2

(4) 3

Квазиньютоновские методы обладают чертами метода Ньютона, но используют только ...?

(1) вторые производные

(2) первые производные

(3) n-производные

Задана целевая функция Z=30x₁+40x₂ → max и ряд ограничений 12х₁+4х₂≤300, 4х₁+4х₂≤120, 3х₁+12х₂≤252, х₁,х₂≥0. Найти решение задачи.

(1) х₁=14, х₂=16

(2) х₁=18, х₂=12

(3) х₁=12, х₂=18

Если штраф создает барьер из больших значений Р вдоль границы допустимой области, эти методы называются...?

(1) методы внутренней точки

(2) методы внешней точки

(3) комбинированные методы

(4) методами барьеров

В матричной форме задача линейного программирования записывается следующим образом:

(1) максимизировать c^Tx при ограничениях Аx≤b; x≥0;

(2) минимизировать c^Tx при ограничениях Аx≤b; x≥0;

(3) максимизировать c^Tx при ограничениях Аx≥b; x≥0;

Если для табличного симплекс – метода в качестве начального базиса выбирают базис из свободных переменных, для которых ci = 0, и оценки для всех небазисных переменных равны Δ_j=a_0j=-c_j, то соответствующее значение целевой функции определяется соотношением:

(1) a₀₀ = Σc_ix_i > 0, i є I;

(2) a₀₀ = Σc_ix_i = 0, i є I;

(3) a₀₀ = Σc_ix_i < 0, i є I;

Допустимый вектор x₀ оптимальный тогда и только тогда, когда в двойственной задаче имеется такое допустимое решение y₀, что:

(1) c^Tx₀>b^Ty₀

(2) c^Tx₀=b^Ty₀

(3) c^Tx₀=-b^Ty₀

Если среди базисных компонентов псевдоплана x нет отрицательных, то псевдоплан x={x_i0} является:

(1) оптимальным решением прямой задачи

(2) допустимым решением прямой задачи

(3) оптимальным решением двойственной задачи

Дифференцируемая функция f(x) строго вогнутая в некоторой окрестности точки math

, если выполняются следующие условия:

(1)

f_{11}(x_0) < 0; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)
\end{vmatrix}
> 0 ; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\
f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) 
\end{vmatrix}
< 0

(2)

f_{11}(x_0) > 0; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)
\end{vmatrix}
> 0 ; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\
f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) 
\end{vmatrix}
< 0

(3)

f_{11}(x_0) \ge; 0; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)
\end{vmatrix}
> 0 ; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\
f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) 
\end{vmatrix}
< 0

Пусть функции g_i(x), i=1,...,m имеют непрерывные частные производные на некотором открытом множестве Rⁿ, содержащем точку x^*. Если x^* является точкой минимума функции f(x) при ограничениях g_i(x) ≤ 0, i=1,...,m, удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной независимости векторов Δg_i(x^*), то существуют такие неотрицательные множители Лагранжа λ₁,...,λ_m, что справедливы соотношения:

(1)

Δf(x^*) + Σλ_iΔg_i(x^*) = 0;
Σλ_ig_i(x^*) = 0, λ_i ≥ 0, i = 1,...,m

(2)

Δf(x^*) - Σλ_iΔg_i(x^*) = 0;
Σλ_ig_i(x^*) = 0, λ_i > 0, i = 1,...,m

(3)

Δf(x^*) + Σλ_iΔg_i(x^*) ≥ 0;
Σλ_ig_i(x^*) = 0, λ_i < 0, i = 1,...,m

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x₁; x₃) и известно значение f(x₂) внутри этого интервала. Положим x₂–x₁=L и x₃–x₂=R, причем L > R. Если x₄ находится в интервале (x₁; x₂) и f(x₄) < f(x₂), то новым интервалом неопределенности будет:

(1) (x₁; x₂) длиной x₂–x₁ = L

(2) (x₄; x₃) длиной x₃–x₄

(3) (x₂; x₃) длиной x₃–x₂ = R

Чему будет равно общее число сетки, если область G является двумерным кубом, каждую сторону которого при построении сетки мы делим на 10 частей?

(1) 121

(2) 100

(3) 1024

(4) 2048

Если линии уровня функции вытянуты в одном направлении и сплющены в другом, то речь идет о ...

(1) проблеме многоэкстремальности

(2) проблеме аппроксимации

(3) проблеме оврагов

Как называются промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз?

(1) промежутками вогнутости графика функции

(2) промежутками графика функции

(3) промежутками выпуклости графика функции

С чем связана сходимость метода штрафных функций?

(1) связана со степенью вытянутости линий уровня штрафной функции

(2) связана со степенью вогнутости линий уровня штрафной функции

(3) связана со степенью значимости штрафной функции

Задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n. В векторной форме ограничения задачи имеют вид:

(1) A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≤b;

(2) A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n=b;

(3) A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≥b;

Если существует такой небазисный вектор, для которого оценка отрицательна, а все элементы этого столбца неположительны, то целевая функция задачи в области допустимых решений:

(1) ограничена

(2) частично ограничена

(3) неограничена

Если прямая задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях Σa_ijx_j≤b_i, i=1,...,m₁<m; Σa_ijx_j=b_i, i=m₁+1,m₁+2,...,m; x_j≥0; j=1,...,n₁<n. Тогда двойственная ей задача имеет вид:

(1) минимизировать Σb_iy_i, i=1,...,m при условиях Σа_ijy_i≥c_j, j=1,...,n₁≤n; Σа_ijy_i=c_j, j=n₁+1, n₁+2,...,n

(2) максимизировать Σb_iy_i, i=1,...,m при условиях Σа_ijy_i≥c_j, j=1,...,n₁≤n; Σа_ijy_i=c_j, j=n₁+1, n₁+2,...,n

(3) минимизировать Σb_iy_i, i=1,...,m при условиях Σа_ijy_i≥c_j, j=1,...,n₁≤n; Σа_ijy_i=0.

Пусть известен некоторый сопряженный базис math

, которому соответствует псевдоплан x, базисные компоненты которого x_i = x_i0≥0 для всех i є Iδ. При этом math

Тогда:

(1) задача неразрешима

(2) псевдоплан x – оптимальное решение

(3) псевдоплан x – допустимое решение

Для того, чтобы в точке x₀ достигался внутренний относительный минимум, достаточно, чтобы эта точка была стационарной, а сама функция в окрестности точки x₀ была:

(1) вогнутой

(2) выпуклой

(3) строго выпуклой

Пара векторов x^*, Δ^* называется седловой точкой функции Лагранжа L(x,Δ), если при всех Δ ≥ 0, x є Rⁿ выполняется условие:

(1) L(x^*,Δ) ≤ L(x^*,Δ^*) ≤ L(x,Δ^*)

(2) L(x^*,Δ) ≥ L(x^*,Δ^*) ≥ L(x,Δ^*)

(3) L(x^*,Δ) = L(x^*,Δ^*) = L(x,Δ^*)

Пусть имеется начальный интервал (a; b), который имеет длину L = b – a. Согласно метода Фибоначчи:

(1) L_n = L₁/F_n + ξ(F_n–2/F_n)

(2) L_n = L₁/F_n - ξ(F_n–2/F_n)

(3) L_n = ξ(F_n–2/F_n) - L₁/F_n

Чему будет равна функция Розенброка f(x₁,x₂), если известно что х₁=2, а х₂=3?

(1) 101

(2) 100

(3) 201

(4) 200

Что из ниже перечисленного является ограничением в виде равенства?

(1) f(x)

(2) h_k(x)=0

(3) g_i(x)≥0

Какой будет линия профиля при С = 2?

(1) x₂=-1-x₁²

(2) x₂=-2-x₁²

(3) x₂=-x₁²

(4) x₂=-3-x₁²

Пусть задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂ (1) ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0. Тогда допустимым множеством решений задачи называется:

(1) множество R(x) всех векторов x, которые удовлетворяют условиям: a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0.

(2) множество всех решений, которые удовлетворяют условиям: a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≥ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≥ b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≥ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0.

(3) множество всех векторов R(x).

Если задача линейного программирования содержит n переменных и m ограничений, записанных в форме неравенств (n > m), не считая ограничений неотрицательности переменных x_i ≥ 0, то в оптимальное решение входит:

(1) не более чем m ненулевых компонент вектора x

(2) более чем m ненулевых компонент вектора x

(3) не более чем n ненулевых компонент вектора x

Если x и y – допустимые решения прямой и двойственной задач и если при этом Σc_jx_j = Σb_iy_i, j=1,...,n; i=1,...,m, то:

(1) x и y - оптимальные решения прямой задачи

(2) x и y - оптимальные решения двойственной задачи

(3) x и y - оптимальные решения и прямой, и двойственной задач

Пусть некоторому сопряженному базису math

соответствует псевдоплан x. Очевидно, A_j=ΣA_ix_ij; A₀=ΣA_ix_i, i є Iδ. Известно, что среди базисных компонентов x_i имеются отрицательные, причем для некоторого i: x_i < 0, а все x_ij ≥ 0, j=1,...,n. Это значит, что:

(1) можно перейти к новому псевдоплану

(2) задача неразрешима

(3) псевдоплан x – оптимальное решение

Если функции f₁(x), f₂(x),...,f_p(x) выпуклы (вогнуты) на множестве R_i, то функция g(x) = Σk_if_i(x), i=1,...,p также выпукла (вогнута) при условии:

(1) k_i > 0, i = 1,2,...,p

(2) k_i ≥ 0, i = 1,2,...,p

(3) k_i < 0, i = 1,2,...,p

Пусть f(x) и все g_i(x) выпуклы и все функции g_i(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Вектор x^* решением задачи нелинейного программирования: минимизировать f(x) при условиях g_i(x) ≤ 0, i = 1,...,m тогда и только тогда, когда существует такой вектор Δ^* ≥ 0, для которого выполняются условия:

(1) L(x^*,Δ) ≤ L(x^*,Δ^*) ≤ L(x,Δ^*) и math

(2) L(x^*,Δ) ≥ L(x^*,Δ^*) ≥ L(x,Δ^*) и math

(3) L(x^*,Δ) > L(x^*,Δ^*) > L(x,Δ^*) и math

Дана функция F(x). Пусть x' доставляет минимум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. Известно, что F₁ и F₂ - значения функции F(x) в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. Если F₁ < F₂, то:

(1) b = x

(2) a = x

(3) a = b

С помощью каких операций перемещается симплекс в методе Спендли, Хекста и Химсворта?

(1) операции отражения

(2) операции сжатия

(3) операции объединения

(4) операции растяжения

(5) операции разделения

Метод, при котором происходит движение к минимуму в направлении наиболее быстрого убывания функции, определяемого антиградиентом, носит название:

(1) метод Нелдера – Мида

(2) метод градиентного спуска

(3) метод покоординатного спуска

Если для всех x₁, x₂ ∈ X выполняется соотношение f[θx₂+(1–θ)x₁]≤θf(x₂)+(1–θ)f(x₁) при 0 < θ < 1, то функция f(x) на выпуклой области X является:

(1) строго выпуклой

(2) вогнутой

(3) выпуклой

Присоединенная функция построена в виде так называемого барьера: math

. При этом ограничения в задаче имеют вид:

(1)

(2)

(3)

Запись задачи линейного программирования в виде

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

представляет собой:

(1) каноническую форму

(2) общую форму

(3) стандартную форму

Уравнение

A_1x^*_1 + A_2x^*_2 +\ldots + A_n x^*_n + A_{n+1} x^*_{n+1} +\ldots + 
A_{n+m}x^*_{n+m} = A_0

определяет базисное решение math

согласно симплекс – методу, если ограничения задачи линейного программирования имеют вид:

(1) A₁x₁-A₂x₂-...-A_nx_n-A_n+1x_n+1-...-A_n+mx_n+m=A₀;

(2) A₁x₁-A₂x₂+...+A_nx_n-A_n+1x_n+1+...+A_n+mx_n+m=A₀;

(3) A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n+A_n+1x_n+1+...+A_n+mx_n+m=A₀.

Если значения целевой функции прямой задачи никогда не превышают значений целевой функции двойственной задачи, т.е. c^Tx₀≤b^Ty₀, то допустимые решения прямой и двойственной задач имеют вид:

(1) Ax₀≤b и A^Ty₀≥c

(2) Ax₀≤b и A^Ty₀≤c

Если симплекс – метод не требует нахождения начального базисного решения (опорного плана), то он является:

(1) прямым

(2) двойственным

(3) методом полного исключения

Если для всех точек x, лежащих в малой окрестности точки math

имеет место неравенство math

, то:

(1) функция достигает локального минимума в точке math

(2) функция достигает локального максимума в точке math

(3) функция не имеет экстремумов в точке math

Если для всех действительных x₁, x₂, таких, что f(x₁) ≠ f(x₂) и λ є (0;1) выполняется неравенство f(λx₁ + (1–λ)x₁) < max{f(x₁),f(x₂)}, то функция f(x) является:

(1) строго квазивыпуклой

(2) строго квазивогнутой

(3) ни строго квазивыпуклой, ни строго квазивогнутой

Уравнение нахождения точки экстремума math

характерно для:

(1) метода Фибоначчи

(2) метода дихотомии

(3) метода Ньютона

Чему будет равняться функция в точке образа, если базисная точка b₁ = 4, а b₂ = 8?

(1) 8

(2) 4

(3) 12

(4) 10

Если направление, противоположное направлению градиента, характеризуется наискорейшим убыванием функции, то направление градиента:

(1) также является направлением наискорейшего убывания функции

(2) является направлением наискорейшего возрастания функции

(3) остается неизменным

Кривая у = f(х) называется вогнутой в промежутке a<x<b, если она лежит

(1) ниже касательной в любой точке этого промежутка

(2) параллельно касательной в любой точке этого промежутка

(3) выше касательной в любой точке этого промежутка

(4) перпендикулярно касательной в любой точке этого промежутка

В случае, если Z = f(x)+P(x), минимум Z будет находиться?

(1) за областью ограничений

(2) внутри области ограничений

(3) на границе области ограничений

Запись задачи линейного программирования в виде

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

представляет собой:

(1) общую форму

(2) каноническую форму

(3) стандартную форму

Пусть уравнение

A_1x^*_1 + A_2x^*_2 +\ldots + A_n x^*_n + A_{n+1} x^*_{n+1} +\ldots + 
A_{n+m}x^*_{n+m} = A_0

определяет базисное решение math

. При этом A_r не входит в базис, т.е. справедливо равенство: A₁x_1r+A₂x_2r+...+A_mx_mr = A_r. Тогда базисное решение имеет вид:

(1)

(2)

(3)

Если x₀ и y₀ – оптимальные решения пары двойственных задач, и кроме того, c^Tx₀=b^Ty₀, то:

(1) x₀ и y₀ – допустимые решения прямой и двойственной задач

(2) x₀ и y₀ – допустимые решения пары прямых задач

(3) x₀ и y₀ – допустимые решения пары двойственных задач

Если x' и y' – оптимальные решения пары двойственных задач и при этом выполняется равенство Σc_jx'_j+Σc_j(x'_j–x'_j+n2) = Σb_iy'_i + Σb_i(y'_i–y'_i+m2), то x' и y':

(1) допустимые решения пары двойственных задач

(2) допустимые решения двойственной задачи

(3) допустимые решения прямой задачи

Множество точек S₁(x₁,...,x_n) функции f(x), удовлетворяющих условию ∂f(x)/∂x_j = 0, j=1,...,n называется:

(1) множеством стационарных точек

(2) множеством граничных точек

(3) множеством окрестных точек

Пусть функция f(x) определена на непустом и выпуклом множестве R. При этом для функции f(x) выполняется условие: для любых x₁, x₂ є R и λ є [0;1] f(λx₁ + (1–λ)x₁) ≤ max{f(x₁),f(x₂)}. Тогда функция f(x):

(1) квазивогнута

(2) квазивыпукла

(3) строго квазивыпукла

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Известно, что производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с отрицательного на положительный, т.е. F'(x) является возрастающей функцией, и F''(x) > 0. Следовательно, в точке x' функция F(x):

(1) имеет минимум

(2) имеет максимум

(3) не определена

Известно что x₀ = 5, x_r = 8, x_h = 6. Чему будет равен коэффициент отражения α?

(1) 3

(2) 4

(3) -3

(4) 5

Что является недостатком метода Коши?

(1) низкая скорость сходимости

(2) устойчивость

(3) надежность

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(3-x)²→min, без ограничения?

(1) 2

(2) 9

(3) 3

Параметрические методы подразделяются на...?

(1) методы внутренней точки

(2) методы внешней точки

(3) комбинированные методы

Запись задачи линейного программирования в виде

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax \ge b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(1) каноническую форму

(2) общую форму

(3) стандартную форму

Уравнение

A_1x^*_1 + A_2x^*_2 +\ldots + A_n x^*_n + A_{n+1} x^*_{n+1} +\ldots + 
A_{n+m}x^*_{n+m} = A_0

определяет базисное решение math

. Новое решение math

связано со старым базисным решением math

соотношениями: math

Тогда уравнение имеет вид:

(1) A₁x₁-A₂x₂+...+A_mx_m-A_rx_r = А₀;

(2) A₁x₁-A₂x₂-...-A_mx_m-A_rx_r = А₀;

(3) A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀

Пусть дана прямая задача: максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при ограничениях Σa_ijx_j≤b, i=1,...,m, x_j≥0, j=1,...,n. Если оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю, то в оптимальном решении данной задачи i–е ограничение выполняется:

(1) как нестрогое неравенство

(2) как равенство

(3) как строгое неравенство

Пусть двойственная задача линейного программирования имеет вид: минимизировать math

при условиях math

и при этом n ≥ m и ранг матрицы A равен m. Тогда задача, записанная в канонической форме, имеет вид:

(1) минимизировать L(x) = Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях ΣA_jx_j = b, j=1,...,n, x_j ≥ 0

(2) максимизировать L(x) = Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях ΣA_jx_j = 0

(3) максимизировать L(x) = Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях ΣA_jx_j = b, j=1,...,n, x_j ≥ 0

Пусть f(x₁,...,x_n) дифференцируема в некоторой допустимой области R. Если для данной функции выполняется условие ∂f(x₀)/∂x_j = 0, j=1,...,n, то в некоторой внутренней точке math

области R функция:

(1) достигает относительного минимума

(2) достигает относительного максимума

(3) не определена

Пусть f(x) – строго квазивыпуклая функция. Рассмотрим задачу минимизации f(x) при условии, что x є R, где R – непустое выпуклое множество в Е⁽ⁿ⁾. Если некоторая точка x' является точкой глобального минимума рассматриваемой задачи, то x' одновременно является:

(1) точкой локального максимума

(2) точкой локального минимума

(3) точкой относительного максимума

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Известно, что производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с положительного на отрицательный, т.е. F'(x) является убывающей функцией, и F''(x) < 0. Следовательно, в точке x' функция F(x):

(1) имеет максимум

(2) имеет минимум

(3) не определена

Какие значения рекомендуют брать Нелдер и Мид для коэффициентов отражения (α), сжатия (β) и растяжения (γ)?

(1) α = 1, β = 0,5 и γ = 2

(2) α = 0,5, β = 1 и γ = 2

(3) α = 2, β = 0,5 и γ = 1

Как называются функции с двумя и более локальными минимумами?

(1) слабоинтегрированными

(2) Функция Пауэлла

(3) многоэкстремальными

(4) Функция Розенброка

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-2)²→min, с ограничением х≥4?

(1) 2

(2) 4

(3) 8

Основная идея метода штрафной функции состоит в...?

(1) преобразовании задачи максимизации функции

(2) преобразовании симплекс метода

(3) преобразовании задачи минимизации функции

(4) преобразовании метода искусственного базиса

Если задача сформулирована в виде: максимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

то это задача:

(1) нелинейного программирования

(2) линейного программирования

(3) стохастического программирования

Новое базисное решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ имеет вид math

. При этом имеет место соотношение: math

. Тогда новое решение:

(1) не является допустимым

(2) является допустимым

(3) является базисным

Если оптимальное значение переменной прямой задачи равно нулю, то в оптимальном решении двойственной задачи ограничение j выполняется как:

(1) строгое равенство

(2) строгое неравенство

(3) нестрогое неравенство

Пусть для некоторой системы, состоящей из m линейно - независимых векторов матрицы ограничений прямой задачи math

, базисное решение y соответствующей системы линейных уравнений вида math

, удовлетворяет ограничениям math

Тогда данная система носит название:

(1) базиса прямой задачи

(2) базиса обратной задачи

(3) сопряженного базиса

Если для всех точек x є R некоторой функции f(x) справедливо неравенство f(x⁰) ≥ f(x), то в точке x⁰ функция f(x):

(1) достигает глобального (абсолютного) максимума

(2) достигает глобального (абсолютного) минимума

(3) экстремумов не имеет

Пусть задача нелинейного программирования задана в виде: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях h₁(x₁,...,x_n) = 0; h₂(x₁,...,x_n) = 0; ............... h_m(x₁,...,x_n) = 0. Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи. Известно, что существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых Δf(x*) + Σλ_iΔh_i(x) = 0, i = 1,...,m. Тогда:

(1) ранг матрицы I = [δh_j(x)/δx_j], i = 1,...,m; j = 1,...,n равен n

(2) ранг матрицы I = [δh_j(x)/δx_j], i = 1,...,m; j = 1,...,n равен m

(3) матрица I = [δh_j(x)/δx_j], i = 1,...,m; j = 1,...,n имеет ранг m + т.

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой производной. Если в некоторой точке градиент функции F(x) равен нулю, то функция F(x) в этой точке:

(1) не определена

(2) имеет локальный минимум (максимум)

(3) имеет глобальный минимум (максимум)

К чему сводит ме¬тод покоординатного спуска задачу поиска наименьшего значения функции нескольких переменных

(1) к одноразовому решению одномерных задач оптимизации

(2) к многократному решению двумерных задач оптимизации

(3) к многократному решению одномерных задач оптимизации

Решение методом Ньютона достигается за один шаг, если?

(1) функция квадратична

(2) функция имеет форму окружности

(3) функция с двумя локальными минимумами

Пусть требуется изготовить 90 деталей. Их можно изготовить двумя технологическими способами: 1 способ: х₁+3х₁², 2 способ: 2х₂+х₂². Затраты связаны функциональной зависимостью. Сколько изделий может быть изготовлено каждым способом?

(1) x₁=58, x₂=32

(2) x₁=56, x₂=34

(3) x₁=23, x₂=67

Метод штрафных функций генерирует последовательность недопустимых решений, которая приближается к оптимальному решению?

(1) извне допустимой области

(2) из допустимой области

(3) не имеет значения

Пусть задача сформулирована в виде: максимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

Данная форма записи является:

(1) общей формой

(2) стандартной формой

(3) канонической формой

Пусть новое решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ имеет вид math

, и при этом является допустимым. Выведем одну переменную x_i из базисного решения, а соответствующий вектор из базиса. Тогда новое базисное решение имеет вид:

(1)

(2)

(3)

Если прямая и двойственная задачи имеют допустимые решения, то:

(1) оптимальное решение имеет двойственная задача

(2) оптимальное решение имеет прямая задача

(3) оптимальные решения имеют и прямая, и двойственная задачи

Пусть n – мерный вектор x является псевдопланом, для которого выполняются условия: Δj ≥ 0, j=1,...,n;. Тогда справедливы равенства:

(1) x_i=x_i0 при i є Iδ, и x_j=0 при i ∉ Iδ

(2) x_i=x_i0 при i ∉ Iδ, и x_j=0 при i є Iδ

(3) x_i=x_j при i є Iδ, и x_j0=0 при i ∉ Iδ

Пусть R – выпуклое множество точек n – мерного пространства. Функция f, определенная на R, удовлетворяет условиям: для любых x₁, x₂ є R и 0 ≤ k ≤ 1 f[kx₁+(1–k)x₂] ≤ kf(x₁)+(1–k)f(x₂). Тогда функция f называется:

(1) выпуклой

(2) вогнутой

(3) выпуклой вниз

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: минимизировать f(x) при math

. Для входящего вектора справедливы следующие условия: math

или

для всех x є S. Тогда скаляры {λ_i}, для которых справедливо соотношение Δf(x^*)=Σλ_iη_i(x) = -Σλ_iΔg_i(x^*), i є I, являются:

(1) положительными

(2) неотрицательными

(3) отрицательными

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Согласно метода Ньютона, начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], где знаки функции f(x) и ее кривизны f''(x) совпадают, т.е. выполняется условие:

(1) f(x)·f''(x) = 0

(2) f(x)·f''(x) > 0

(3) f(x)·f''(x) < 0

Чему будет равняться коэффициент растяжения γ, если известно, что x₀ = 4, x_e = 1, x_r = 3?

(1) 3

(2) 1

(3) 4

(4) 8

Метод Розенброка используется при минимизации овражных функционалов, если овраг

(1) одномерный

(2) двумерный

(3) трехмерный

Задана целевая функция Z=20x₁+10x₂ → max и ряд ограничений 10х₁+2х₂≤200, 2х₁+4х₂≤110, 2х₁+3х₂≤140, х₁,х₂≥0. Найти решение задачи.

(1) х₁=16, х₂=19

(2) х₁=18, х₂=13

(3) х₁=14, х₂=19

Какой метод позволяет найти решение без значительного ухудшения обусловленности задачи?

(1) методы внутренней точки

(2) метод множителей

(3) методы внешней точки

(4) методами барьеров

Задача линейного программирования сформулирована в матричной форме: максимизировать c^Tx при ограничениях Аx≤b; x≥0;. Тогда ограничения имеют вид:

(1) Аx≤b; x≤0;

(2) Аx≤b; x≥0;

(3) Аx≥b; x≥0;

Для табличного симплекс – метода в качестве начального базиса выбран базис из свободных переменных, для которых c_i = 0. Соответствующее значение целевой функции определяется соотношением a₀₀ = Σc_ix_i = 0, i є I. Тогда оценки для всех небазисных переменных равны:

(1) Δ_j=a_0j=-c_j

(2) Δ_j=-a_0j=-c_j

(3) Δ_j=a_0j=c_j

Если в двойственной задаче имеется такое допустимое решение y₀, что c^Tx₀=b^Ty₀, то допустимый вектор x₀:

(1) является оптимальным

(2) не является оптимальным

(3) является двойственным

Псевдоплан x={x_i0} является оптимальным решением прямой задачи, если среди его базисных компонентов:

(1) нет положительных

(2) нет отрицательных

(3) имеются отрицательные

Если для некоторой функции f(x) в некоторой окрестности точки math

знаки определителей чередуются, т.е. справедливо условие

f_{11}(x_0) < 0; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)
\end{vmatrix}
> 0 ; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\
f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) 
\end{vmatrix}
< 0

, то дифференцируемая функция f(x):

(1) строго выпуклая

(2) строго вогнутая

(3) не определена

Пусть функции g_i(x), i=1,...,m имеют непрерывные частные производные на некотором открытом множестве Rⁿ, содержащем точку x^*. Если для функции f(x) ограничения g_i(x) ≤ 0, i=1,...,m удовлетворяют условию регулярности в виде линейной независимости векторов Δg_i(x^*), и существуют такие неотрицательные множители Лагранжа λ₁,...,λ_m, что

Δf(x^*) + Σλ_iΔg_i(x^*) = 0;
Σλ_ig_i(x^*) = 0, λ_i ≥ 0, i = 1,...,m

является:

(1) точкой максимума функции f(x)

(2) точкой минимума функции f(x)

(3) седловой точкой функции Лагранжа

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x₁; x₃) и известно значение f(x₂) внутри этого интервала. Положим x₂–x₁ = L и x₃–x₂ = R, L > R. Если x₄ находится в интервале (x₁; x₂) и новым интервалом неопределенности будет (x₁; x₂) длиной x₂–x₁ = L, то:

(1) f(x₄) > f(x₂)

(2) f(x₄) < f(x₂)

(3) f(x₄) = f(x₂)

Чему будет равно общее число сетки, если область W является трехмерным кубом, каждую сторону которого при построении сетки мы делим на 5 частей?

(1) 727

(2) 243

(3) 216

(4) 125

После чего останавливаются расчеты при многоэкстремальными?

(1) после того, как несколько новых поисков дали разные, но минимальные результаты

(2) после того, как несколько новых поисков не меняют полученного ранее результата

(3) после того, как несколько новых поисков дали разные, но максимальные результаты

Если вторая производная функции у = f(х) в данном промежутке положительна, то кривая...?

(1) вогнута

(2) выпукла

(3) параллельна

Как называется множество точек, с координатами [x1,x2] для которых целевая функция F(X) имеет постоянное значение?

(1) профилем уровня

(2) функциональным уровнем

(3) линией уровня

Задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≤b; Данная форма записи является:

(1) матричной формой

(2) векторной формой

(3) канонической формой

Если существует такой небазисный вектор, для которого оценка отрицательна, и целевая функция задачи в области допустимых решений неограниченна, то все элементы этого столбца:

(1) положительны

(2) неположительны

(3) неотрицательны

Двойственная задача линейного программирования имеет вид: минимизировать Σb_iy_i, i=1,...,m при условиях Σа_ijy_i≥c_j, j=1,...,n₁≤n; Σа_ijy_i=c_j, j=n₁+1, n₁+2,...,n. Тогда прямая задача имеет вид:

(1) минимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях Σa_ijx_j≤b_i, i=1,...,m₁<m; Σa_ijx_j=b_i, i=m₁+1,m₁+2,...,m; x_j≥0; j=1,...,n₁<n

(2) максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях Σa_ijx_j≤b_i, i=1,...,m₁<m; Σa_ijx_j=b_i, i=m₁+1,m₁+2,...,m; x_j≥0; j=1,...,n₁<n

(3) максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях Σa_ijx_j≤b_i, i=1,...,m₁<m; Σa_ijx_j=0.

Пусть известен некоторый сопряженный базис math

, которому соответствует псевдоплан x. При этом псевдоплан x является оптимальным решением и math

Тогда для базисных компонентов справедливо условие:

(1) x_i = x_i0≥0 для всех i є Iδ

(2) x_i = x_i0≤0 для всех i є Iδ

(3) x_i = x_i0=0 для всех i є Iδ

Если некоторая точка x₀ функции является стационарной, а сама функция в окрестности точки x₀ является строго выпуклой, то в точке x₀:

(1) достигается внутренний относительный минимум

(2) достигается внутренний относительный максимум

(3) достигается внутренний абсолютный максимум

Пара векторов x^*, Δ^* для которых выполняется условие: для всех

Δ ≥ 0, x є Rⁿ L(x^*, Δ) ≤ L(x^*, 
Δ^*) ≤ L(x, Δ^*)

, называется:

(1) условием регулярности Слейтера

(2) седловой точкой функции Лагранжа

(3) условием дополняющей нежесткости

Пусть имеется начальный интервал (a; b). Согласно метода Фибоначчи интервал неопределенности имеет длину L_n = L₁/F_n + ξ(F_n–2/F_n). Это справедливо, если:

(1) L = a – b

(2) L = b – a

(3) L = a + b

Чему будет равна функция Розенброка f(x₁,x₂), если известно что х₁=1, а х₂=2?

(1) 201

(2) 101

(3) 100

(4) 200

При использовании комплексного метода, если целевая функция f(x) выпукла и функции g_i(x) тоже выпуклы, то задача будет иметь?

(1) два решение

(2) одно решение

(3) n – решений

(4) нет решений

Какой будет линия профиля при С = 0?

(1) x₂=-3-x₁²

(2) x₂=-2-x₁²

(3) x₂=-x₁²

(4) x₂=-1-x₁²

Множество R(x) всех векторов x, которые удовлетворяют условиям: a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0, является:

(1) оптимальным множеством решений задачи (1)

(2) допустимым множеством решений задачи (1)

(3) эквивалентным множеством решений задачи (1)

Если задача линейного программирования содержит n переменных и m ограничений, не считая ограничений неотрицательности переменных x_i ≥ 0, и в оптимальное решение входит не более чем m ненулевых компонент вектора x, то выполняется условие:

(1) n < m

(2) n > m

(3) n = m

Если x и y - оптимальные решения прямой и двойственной задач, и при этом выполняется условие Σc_jx_j = Σb_iy_i, j=1,...,n; i=1,...,m, то x и y являются:

(1) допустимыми решениями этих задач

(2) допустимыми решениями прямой задачи

(3) допустимыми решениями двойственной задачи

Пусть задан некоторый сопряженный базис math

Ему соответствует псевдоплан x. При этом A_j=ΣA_ix_ij; A₀=ΣA_ix_i, i є Iδ. Известно, что задача неразрешима. Это значит, что базисные компоненты удовлетворяют условиям:

(1) x_i = x_i0≥0 для всех i є Iδ

(2) псевдоплан x содержит отрицательные компоненты x_i0 < 0, но для каждой из них среди элементов {x_ij}, j=1,...,n, имеются отрицательные

(3) среди x_i имеются отрицательные, причем для некоторого i: x_i < 0, а все x_ij ≥ 0, j=1,...,n

Если функции f₁(x), f₂(x),...,f_p(x) выпуклы (вогнуты) на множестве R_i и выполняется условие k_i ≥ 0, i = 1,2,...,p, то функция g(x) = Σk_if_i(x), i=1,...,p:

(1) также является выпуклой (вогнутой)

(2) не является выпуклой (вогнутой)

(3) не определена на данном множестве

Пусть f(x) и все g_i(x) выпуклы и все функции g_i(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Задача нелинейного программирования задана следующим образом: минимизировать f(x) при условиях g_i(x) ≤ 0, i = 1,...,m. Пусть существует некоторый вектор Δ^* ≥ 0, такой, что L(x^*,Δ) ≤ L(x^*,Δ^*) ≤ L(x,Δ^*) и math

. Тогда вектор Δ^*:

(1) является решением задачи нелинейного программирования

(2) не является решением задачи нелинейного программирования

(3) не может существовать при заданных условиях

Дана функция F(x). Пусть x' доставляет минимум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. Известно, что F₁ и F₂ – значения функции F(x) в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. При поиске минимума был отброшен отрезок [x; b], т.е. b = x. Это значит, что:

(1) F₁ = F₂

(2) F₁ < F₂

(3) F₁ > F₂

В каком из методов происходит сравнение значений функции в (n + 1) вершинах симплекса и перемещении симплекса в направлении оптимальной точки с помощью итерационной процедуры?

(1) метод Нелдера – Мида

(2) метод градиентного спуска

(3) метод покоординатного спуска

(4) метод Хука – Дживса

Метод градиентного спуска предполагает движение:

(1) в направлении из заданной точки в направлении, параллельном одной из осей, до точки минимума в данном направлении

(2) к минимуму в направлении наиболее быстрого убывания функции, определяемого антиградиентом

(3) в направлении оптимальной точки симплекса с помощью итерационной процедуры

Какое из приведенных ниже соотношений характеризует выпуклую функцию f(x) на выпуклой области X:

(1) f(x₂)≤f(x₁)+(x₂–x₁)^TΔf(x₁) для всех x₁, x₂ ∈ X

(2) f[θx₂+(1–θ)x₁]≤θf(x₂)+(1–θ)f(x₁) при 0 < θ < 1 для всех x₁, x₂ ∈ X

(3) f[θx₂+(1–θ)x₁]≥θf(x₂)+(1–θ)f(x₁) при 0 < θ < 1 для всех x₁, x₂ ∈ X

Пусть

. Тогда присоединенная функция math

построена в виде:

(1) барьера

(2) оврага

(3) квадратичной параболы

Выберите из представленного ряда записей задач линейного программирования запись задачи в общей форме:

(1)

\begin{aligned}
& W = cx \rightarrow \min \\
& Ax=b, x \ge 0
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& W = cx \rightarrow \min \\
& a_i x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \le 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& W = cx \rightarrow \min \\
& a_i x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

Согласно симплекс – метода, верное базисное решение math

при ограничениях задачи линейного программирования A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n+A_n+1x_n+1+...+A_n+mx_n+m=A₀ имеет вид:

(1)

A_1x^*_1 + A_2x^*_2 +\ldots + A_n x^*_n + A_{n+1} x^*_{n+1} +\ldots + 
A_{n+m}x^*_{n+m} = A_0

(2) A₁x₁-A₂x₂-...-A_nx_n-A_n+1x_n+1-...-A_n+mx_n+m=A₀;

(3) A₁x₁-A₂x₂+...+A_nx_n-A_n+1x_n+1+...+A_n+mx_n+m=A₀.

Выберите верное утверждение: если Ax₀≤b и A^Ty₀≥c, то:

(1) c^Tx₀<b^Ty₀

(2) c^Tx₀≥b^Ty₀

(3) c^Tx₀≤b^Ty₀

Двойственный симплекс – метод, в отличии от прямого, не требует:

(1) нахождения начального базисного решения

(2) определения вектора, вводимого в базис

(3) поиска начального псевдоплана

Функция f(x) достигает локального максимума в точке math

и при этом имеет место равенство math

. Это справедливо:

(1) для всех действительных x

(2) для всех x, принадлежащих малой окрестности math

(3) для всех положительных x

Пусть функция f(x) является строго квазивыпуклой и выполняется неравенство f(λx₁ + (1–λ)x₁) < max{f(x₁),f(x₂)}. При этом для всех действительных x₁, x₂ выполняется условие:

(1) f(x₁) = f(x₂)

(2) f(x₁) ≠ f(x₂)

(3) f(x₁) > f(x₂)

При помощи какого из нижеприведенных соотношений осуществляется нахождение экстремума функции F(x) методом Ньютона:

(1)

(2)

(3)

Чему будет равняться функция в точке образа, если базисная точка b₁ = 1, а b₂ = 7?

(1) 12

(2) 13

(3) 8

(4) 115

Известно, что если направление градиента является направлением наискорейшего возрастания функции, то противоположное направление является направлением наискорейшего убывания функции. Это свойство присуще:

(1) методу дихотомии

(2) двойственному симплекс – методу

(3) методу наискорейшего спуска

Кривая у = f(х) называется выпуклой в промежутке a<x<b, если она лежит ...

(1) ниже касательной в любой точке этого промежутка

(2) параллельно касательной в любой точке этого промежутка

(3) выше касательной в любой точке этого промежутка

(4) перпендикулярно касательной в любой точке этого промежутка

Методы внешней точки генерируют последовательность точек, которые...?

(1) находятся в пределах допустимой области

(2) на границе допустимой области

(3) выходят за пределы допустимой области

Выберите из представленного ряда записей задач линейного программирования запись задачи в канонической форме:

(1)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \le 0
\end{aligned}

Пусть уравнение

A_1x^*_1 + A_2x^*_2 +\ldots + A_n x^*_n + A_{n+1} x^*_{n+1} +\ldots + 
A_{n+m}x^*_{n+m} = A_0

определяет базисное решение math

, которое является допустимым, т.е. math

. При этом справедливо равенство: A₁x_1r+A₂x_2r+...+A_mx_mr = A_r. Это значит, что:

(1) A_r не входит в базис

(2) A_r входит в базис

(3) A_r выражается через этот базис

Если x₀ и y₀ допустимые решения прямой и двойственной задач и при этом x₀ и y₀ – оптимальные решения пары двойственных задач, то справедливо соотношение:

(1) c^Tx₀>b^Ty₀

(2) c^Tx₀<b^Ty₀

(3) c^Tx₀=b^Ty₀

Если x' и y' – допустимые решения пары двойственных задач и при этом они являются оптимальными решениями этих задач, то выполняется условие:

(1) Σc_jx'_j+Σc_j(x'_j–x'_j+n2) ≥ Σb_iy'_i + Σb_i(y'_i–y'_i+m2)

(2) Σc_jx'_j+Σc_j(x'_j–x'_j+n2) ≤ Σb_iy'_i + Σb_i(y'_i–y'_i+m2)

(3) Σc_jx'_j+Σc_j(x'_j–x'_j+n2) = Σb_iy'_i + Σb_i(y'_i–y'_i+m2)

Множеством стационарных точек функции f(x) называется множество точек S₁(x₁,...,x_n):

(1) удовлетворяющих условию ∂f(x)/∂x_j > 0, j=1,...,n

(2) удовлетворяющих условию ∂f(x)/∂x_j = 0, j=1,...,n

(3) точки не удовлетворяют ни одному из вышеперечисленных условий

Пусть функция f(x) на некотором множестве R является квазивыпуклой, т.е. для любых x₁, x₂ є R и λ є [0;1] выполняется неравенство f(λx₁ + (1–λ)x₁) ≤ max{f(x₁),f(x₂)}. Тогда множество R является:

(1) ограниченным множеством

(2) непустым и вогнутым

(3) непустым и выпуклым

Пусть функция вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет минимум, и F'(x) является возрастающей функцией, то F'(x) в окрестности x':

(1) знак не меняет

(2) меняет знак с положительного на отрицательный

(3) меняет знак с отрицательного на положительный

Известно что x₀ = 6, x_r = 2, x_h = 4. Чему будет равен коэффициент отражения α?

(1) 2

(2) -4

(3) 4

(4) -2

Метод Коши наиболее эффективный когда линии уровня представляют собой?

(1) овал

(2) квадрат

(3) сфера

(4) окружность

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-4)²→min, без ограничения?

(1) 2

(2) 4

(3) 8

Что в записанном выражении является штрафной функцией: Z = f(x)+P(x)?

(1) P(x)

(2) Z

(3) f(x)

Выберите из представленного ряда записей задач линейного программирования запись задачи в стандартной форме:

(1)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax \ge b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

Обозначим решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ как math

. Связь нового решения math

со старым базисным решением math

выражается соотношениями math

. Тогда уравнение, определяющее старое базисное решение math

, имеет вид:

(1)

A_1 x^*_1 + A_2 x^*_2 + \ldots + A_n x^*_n + A_{n+1} x^*_{n+1} + \ldots + A_{n+m} x^*_{n+m} = A_0

(2)

A_1 x^*_1 + A_2 x^*_2 - \ldots - A_n x^*_n + A_{n+1} x^*_{n+1} - \ldots - A_{n+m} x^*_{n+m} = A_0

(3)

A_1 x^*_1 - A_2 x^*_2 - \ldots - A_n x^*_n - A_{n+1} x^*_{n+1} - \ldots - A_{n+m} x^*_{n+m} = A_0

Если в оптимальном решении некоторой задачи i–е ограничение выполняется как строгое неравенство и оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю, то данная задача является:

(1) прямой

(2) двойственной

(3) обратной

Задача линейного программирования в канонической форме имеет вид: максимизировать L(x) = Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях ΣA_jx_j = b, j=1,...,n, x_j ≥ 0. Двойственная задача к ней задача записана так: минимизировать math

при условиях math

Тогда выполняется условие:

(1) n = m и ранг матрицы A равен n

(2) n ≥ m и ранг матрицы A равен n

(3) n ≤ m и ранг матрицы A равен n

Если функция f(x₁,...,x_n) в некоторой внутренней точке math

допустимой области R функция достигает относительного максимума и при этом справедливо равенство ∂f(x₀)/∂x_j = 0, j=1,...,n, то:

(1) функция не дифференцируема в данной области

(2) функция дифференцируема в данной области

(3) функция частично дифференцируема в данной области

Пусть в некоторой задаче минимизации функции f(x), где x є R и R – непустое выпуклое множество в Е⁽ⁿ⁾, точка x' является одновременно точкой и локального, и глобального минимумов. Тогда функция f(x):

(1) квазивогнутая функция

(2) квазивыпуклая функция

(3) строго квазивыпуклая функция

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет максимум, и F'(x) является убывающей функцией, то F'(x) в окрестности x':

(1) знак не меняет

(2) меняет знак с отрицательного на положительный

(3) меняет знак с положительного на отрицательный

Для решения каких задач чаще используется "метод сеток"?

(1) двумерных задач

(2) трехмерных задач

(3) одномерных задач

От чего поможет избавиться проведение поиска несколько раз, начиная его с разных точек?

(1) от оврагов

(2) от многоэкстремальности

(3) нахождения максимальной функции

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-3)²→min, с ограничением х≥9?

(1) 3

(2) 9

(3) 36

Какие ограничения удовлетворяются в комбинированных методах в процессе оптимизации?

(1) все ограничения удовлетворяются

(2) ни одного ограничения не удовлетворяются

(3) одни ограничений удовлетворяются, а другие - нет

Если задача линейного программирования сформулирована следующим образом: максимизировать math

, то условия имеют вид:

(1)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \ge b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \ge b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \ge b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

Пусть уравнение A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ имеет решение math

. Данное решение:

(1) будет допустимым для всех значений x_r

(2) не будет допустимым ни для каких значений x_r

(3) будет допустимым не для всех значений x_r

Если в оптимальном решении некоторой задачи ограничение j выполняется как строгое неравенство и при этом оптимальное значение переменной прямой задачи равно нулю, то данная задача является:

(1) прямой

(2) обратной

(3) двойственной

Пусть некоторое базисное решение y системы линейных уравнений вида math

, удовлетворяет ограничениям math

Тогда вектора матрицы ограничений прямой задачи math

, составляющие сопряженный базис, являются:

(1) линейно – зависимыми

(2) линейно – независимыми

(3) ортонормированными

Если для всех точек x є R некоторой функции f(x) справедливо неравенство f(x⁰) ≥ f(x), то функция f(x):

(1) в точке x⁰ не определена

(2) в точке x⁰ достигает глобального (абсолютного) максимума

(3) в точке x⁰ достигает глобального (абсолютного) минимума

Пусть задана задача нелинейного программирования: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях h₁(x₁,...,x_n) = 0; h₂(x₁,...,x_n) = 0; ............... h_m(x₁,...,x_n) = 0. Пусть в некоторой точке x* ранг матрицы I = [δh_j(x)/δx_j], i = 1,...,m; j = 1,...,n равен m, и существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых Δf(x*) + Σλ_iΔh_i(x) = 0, i = 1,...,m. Тогда в точке x*:

(1) не существует экстремумов

(2) достигается абсолютный экстремум

(3) достигается относительный экстремум

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Если функция F(x) имеет локальный минимум (максимум) в точке x', то в этой точке градиент функции F(x) равен нулю, т.е.:

(1) F'(x) ≡ f(x) = 0

(2) F'(x) ≡ f(x) > 0

(3) F'(x) ≡ f(x) < 0

Под каким углом происходит изменение траектории нахождения оптимальной точки в методе покоординатного спуска?

(1) не имеет значения

(2) под углом в 45 градусов

(3) под углом в 90 градусов

Направление градиента является направлением?

(1) наискорейшего убывания функции

(2) наискорейшего возрастания функции

(3) наискорейшей минимизации функции

Пусть требуется изготовить 120 деталей. Их можно изготовить двумя технологическими способами: 1 способ: х₁+х₁², 2 способ: 2х₂+2х₂². Затраты связаны функциональной зависимостью. Сколько изделий может быть изготовлено каждым способом?

(1) x₁=36, x₂=84

(2) x₁=80, x₂=40

(3) x₁=46, x₂=74

Методы, использующие штрафные функции, определяются?

(1) видом целевой функции

(2) видом штрафа

(3) видом штрафной функции

Задача линейного программирования сформулирована в каноническом виде: максимизировать math

. Тогда условия ограничения имеют вид:

(1)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \ge b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \ge b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \ge b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

Решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ имеет вид math

, и при этом выполняется соотношение math

. Выведем одну переменную x_i из базисного решения, а соответствующий вектор из базиса. Новое решение имеет вид math

. Данное решение:

(1) не является базисным

(2) является базисным

(3) является допустимым

Если прямая и двойственная задачи имеют допустимые решения, и при этом двойственная задача имеет оптимальное решение, то:

(1) прямая задача также имеет оптимальное решение

(2) прямая задача не имеет оптимального решения

(3) прямая задача в этом случае не имеет решения

n – мерный вектор x, для которого x_i=x_i0 при i є Iδ, и x_j=0 при i ∉ Iδ, и при этом выполняются условия: Δj ≥ 0, j=1,...,n;, называется:

(1) сопряженным базисом

(2) ортонормированным базисом

(3) псевдопланом

Пусть для некоторой выпуклой вверх(вогнутой) функции f, определенной на множестве R справедливо условие: для любых x₁, x₂ є R и 0 ≤ k ≤ 1 f[kx₁+(1–k)x₂] ≤ kf(x₁)+(1–k)f(x₂). Тогда множество R является:

(1) выпуклым множеством

(2) вогнутым множеством

(3) строго вогнутым множеством

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: минимизировать f(x) при math

. Известно, что существует множество неотрицательных скаляров {λ_i} ≥ 0, для которых справедливо соотношение Δf(x^*)=Σλ_iη_i(x) = -Σλ_iΔg_i(x^*), i є I. Тогда для входящего вектора справедливо условие:

(1) Δf(x^*)(x – x^*) = 0 для всех x є S

(2) Δf(x^*)(x – x^*) > 0 для всех x є S

(3) Δf(x^*)(x – x^*) ≥ 0 для всех x є S

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Согласно метода Ньютона, начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], где выполняется условие f(x)·f''(x) > 0, т.е. наблюдается совпадение знаков:

(1) функции f(x) и первой производной f'(x)

(2) первой производной f'(x) и второй производной f''(x)

(3) функции f(x) и ее кривизны f''(x)

Чему будет равняться коэффициент растяжения γ, если известно, что x₀ = 5, x_e = 3, x_r = 6?

(1) 2

(2) 6

(3) 8

(4) -2

Размерность дна оврага определяется числом малых собственных значений матрицы

(1) производных

(2) Стьюдента

(3) Гессе

Задана целевая функция Z=25x₁+20x₂ → max и ряд ограничений 8х₁+3х₂≤400, 3х₁+2х₂≤80, 5х₁+7х₂≤200, х₁,х₂≥0. Найти решение задачи.

(1) х₁=12, х₂=14

(2) х₁=16, х₂=16

(3) х₁=18, х₂=16

Какие существуют типы штрафов?

(1) квадратичный штраф

(2) барьерный штраф

(3) логарифмический штраф

Пусть задача линейного программирования сформулирована следующим образом: максимизировать c^Tx при ограничениях Аx≤b; x≥0;. Данная форма записи является:

(1) канонической формой

(2) общей формой

(3) матричной формой

Если для табличного симплекс – метода оценки для всех небазисных переменных равны Δ_j=a_0j=-c_j, а соответствующее значение целевой функции a₀₀ = Σc_ix_i = 0, i є I;, то в качестве начального базиса выбран базис:

(1) из свободных переменных, для которых c_i ≠ 0

(2) из зависимых переменных, для которых c_i ≠ 0

(3) из свободных переменных, для которых c_i = 0

Если в двойственной задаче допустимый вектор x₀ является оптимальным и при этом выполняется условие c^Tx₀=b^Ty₀, то:

(1) y₀ является допустимым решением

(2) y₀ является оптимальным решением

(3) y₀ является оптимальным допустимым решением

Псевдоплан x={x_i0}, среди базисных компонентов которого нет отрицательных, является оптимальным решением:

(1) двойственной задачи

(2) прямой задачи

(3) обратной задачи

Если для некоторой строго вогнутой функции f(x) в некоторой окрестности точки math

знаки определителей чередуются, т.е. справедливо условие

f_{11}(x_0) < 0; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)
\end{vmatrix}
> 0 ; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\
f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) 
\end{vmatrix}
< 0

, то функция f(x):

(1) не определена

(2) дифференцируема

(3) не дифференцируема

Пусть некоторое открытое множество Rⁿ содержит точку x^*. Известно, что x^* является точкой минимума функции f(x) при ограничениях g_i(x) ≤ 0, i=1,...,m, удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной независимости векторов Δg_i(x^*), и существуют такие неотрицательные множители Лагранжа λ₁,...,λ_m, что

Δf(x^*) + Σλ_iΔg_i(x^*) = 0;
Σλ_ig_i(x^*) = 0, λ_i ≥ 0, i = 1,...,m

. Тогда функции g_i(x), i = 1,...,m:

(1) не определены на множестве Rⁿ

(2) не имеют частных производных на множестве Rⁿ

(3) имеют непрерывные частные производные на множестве Rⁿ

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x₁; x₃) и известно значение f(x₂) внутри этого интервала. Положим x₂–x₁ = L и x₃–x₂ = R. Если x₄ находится в интервале (x₁; x₂) и новым интервалом неопределенности будет (x₁; x₂) длиной x₂–x₁ = L, то в этом случае:

(1) L = R

(2) L < R

(3) L > R

(1) 727

(2) 243

(3) 216

(4) 125

Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла также называют

(1) метод Ньютона

(2) метод покоординатного спуска

(3) методом переменной метрики

Если вторая производная функции у = f(х) в данном промежутке отрицательна, то кривая...?

(1) вогнута

(2) выпукла

(3) параллельна

Как выглядит функция метода штрафных функций?

(1) Z=f(x)

(2) Z=f(x)+P(x)

(3) Z=P(x)

Задачу линейного программирования в векторной форме можно сформулировать следующим образом:

(1) минимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≤b;

(2) максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≥b;

(3) максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≤b;

Если существует такой небазисный вектор, для которого все элементы столбца неположительны, а целевая функция задачи в области допустимых решений неограниченна, то для такого вектора оценка:

(1) отрицательна

(2) неотрицательна

(3) положительна

(1) Σа_ijy_i≥c_j, j=1,...,n₁≤n; Σа_ijy_i=c_j, j=n₁+1, n₁+2,...,n

(2) Σа_ijy_i≤c_j, j=1,...,n₁≤n; Σа_ijy_i=c_j, j=n₁+1, n₁+2,...,n

(3) Σа_ijy_i≥c_j, j=1,...,n₁≤n; Σа_ijy_i=0.

Пусть известен некоторый сопряженный базис math

, которому соответствует псевдоплан x. Базисные компоненты псевдоплана удовлетворяют условиям x_i = x_i0≥0 для всех i є Iδ. При этом псевдоплан x является оптимальным решением. Тогда справедливы соотношения:

(1) A_j≥ΣA_ix_ij; A₀≥ΣA_ix_i, i є Iδ;

(2) A_j≤ΣA_ix_ij; A₀≤ΣA_ix_i, i є Iδ;

(3) A_j=ΣA_ix_ij; A₀=ΣA_ix_i, i є Iδ.

Пусть в некоторой точке x₀ достигается внутренний относительный минимум, и сама функция при этом в окрестности точки x₀ строго выпукла. Тогда точка x₀:

(1) не является стационарной

(2) является стационарной

(3) является граничной точкой

Если для пары векторов x^*, Δ^*, которая носит название седловой точки функции Лагранжа L(x,Δ), выполняется условие L(x^*,Δ) ≤ L(x^*,Δ^*) ≤ L(x,Δ^*), то оно справедливо:

(1) для всех Δ = 0, x є Rⁿ

(2) для всех Δ ≤ 0, x є Rⁿ

(3) для всех Δ ≥ 0, x є Rⁿ

Пусть имеется начальный интервал (a; b), который имеет длину L = b – a. Согласно метода Фибоначчи интервал неопределенности имеет длину L_n = L₁/F_n + ξ(F_n–2/F_n). Это значит, что:

(1) начальный интервал неопределенности уменьшен в 1/F_n раз по сравнению с его начальной длиной

(2) начальный интервал неопределенности уменьшен в F_n раз по сравнению с его начальной длиной

(3) начальный интервал неопределенности увеличен в F_n раз по сравнению с его начальной длиной

Чему будет равна функция Розенброка f(x₁,x₂), если известно что х₁=1, а х₂=3?

(1) 200

(2) 402

(3) 401

(4) 400

Комплексный метод является?

(1) последовательным

(2) равномерным

(3) итерационным

(4) процедурным

Какой будет линия профиля при С = 3?

(1) x₂=-x₁²

(2) x₂=-2-x₁²

(3) x₂=-1-x₁²

(4) x₂=-3-x₁²

Пусть задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂ (1) ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0. Тогда множество R(x) является допустимым множеством решений данной задачи, если оно удовлетворяет условиям:

(1) a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n > b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n > b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n > b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0,

(2) a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n < b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n < b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n < b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0,

(3) a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0,

Если в оптимальное решение задачи линейного программирования входит не более чем m ненулевых компонент вектора x, все переменные x_i ≥ 0 и все ограничения записаны в форме неравенств, то задача линейного программирования содержит:

(1) n переменных и m ограничений (n > m)

(2) n ограничений и m переменных (n > m)

(3) равное количество переменных и ограничений (n = m)

Если x и y – допустимые решения прямой и двойственной задач и при этом они являются оптимальными решениями этих задач, то справедливо соотношение:

(1) Σc_jx_j > Σb_iy_i, j=1,...,n; i=1,...,m

(2) Σc_jx_j = Σb_iy_i, j=1,...,n; i=1,...,m

(3) Σc_jx_j = -Σb_iy_i, j=1,...,n; i=1,...,m

Пусть некоторому сопряженному базису math

соответствует псевдоплан x. Среди базисных компонентов x_i имеются отрицательные, причем для некоторого i: x_i < 0, а все x_ij ≥ 0, j=1,...,n. Это значит, что задача неразрешима. Следовательно, справедливы соотношения:

(1) A_j=ΣA_ix_ij; A₀=ΣA_ix_i, i є Iδ;

(2) A_j≤ΣA_ix_ij; A₀≤ΣA_ix_i, i є Iδ;

(3) A_j≥ΣA_ix_ij; A₀≥ΣA_ix_i, i є Iδ.

Пусть на некотором множестве R_i функция g(x) = Σk_if_i(x), i=1,...,p выпукла (вогнута) и выполняется условие k_i ≥ 0, i = 1,2,...,p. Тогда на множестве R_i функции f₁(x), f₂(x),...,f_p(x):

(1) не определены на данном множестве

(2) не являются выпуклыми (вогнутыми)

(3) являются выпуклыми (вогнутыми)

Пусть задача нелинейного программирования задана следующим образом: минимизировать f(x) при условиях g_i(x) ≤ 0, i = 1,...,m. Известно, что существует некоторый вектор Δ^* ≥ 0, такой, что L(x^*,Δ) ≤ L(x^*,Δ^*) ≤ L(x,Δ^*) и math

. Функции g_i(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Тогда:

(1) f(x) и g_i(x) вогнуты

(2) f(x) вогнута, а все g_i(x) выпуклы

(3) f(x) и g_i(x) выпуклы

Дана функция F(x). Известно, что x' доставляет некоторый экстремум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. При этом F₁ и F₂ – значения функции F(x) в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. Если F₁ < F₂, т.е. b = x, то:

(1) на интервале [a; b] экстремумов нет

(2) x' доставляет максимум функции F(x)

(3) x' доставляет минимум функции F(x)